フラクタルな境界を持つ領域での境界値問題

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Dはd次元ユークリッド空間(d>1)の有界領域で境界は次の意味でフラクタルとする。B(z,r)をzを中心とし半径rの球とするとき、境界上の正ラドン測度μと正数βが存在して、境界上の各点zと正数rに対しbr^β≦μ(B(z,r)⌒∂D)≦cr^βを満たすとする。ただし、βはd-1≦β<dを満たし、b,cは定数とする。このような領域Dで以下の結果が得られ、それを1994年8月にチェコ共和国で行われたポテンシャル論国際会議で発表した。1.αはβ-d+1<α<1を満たす時、α-ヘルダー連続な境界関数fをWhitney分解を使って、境界以外のところではなめらかに拡張し、それを使って、なめらかな境界に対する2重層ポテンシャルと同様の性質を持つΦfが定義できる。2.さらに、境界の各点でDの内外に非接アプローチ領域がとれる場合には、μに関する境界上のBesov空間に属する関数fに対しても、同様の性質を持つΦfが定義できる。