ポテンシャル論の解析学への応用

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コンパクトな台を持つ連続関数族のL^D-ノルムによる完備化として, L^D-空間がある. 関数空間を扱う上で, L^D空間の果してきた役割は, 大変大きいが, この空間での除外集合は, 一定の測度zeroである. ポテンシャル論の中では, ある性質が成り立たない除外集合を, ルベーグ測度zeroよりももっと小さい容量zeroになることがわかっている結果が多くある. こうした問題は個々の容量に応じて, それぞれの方法で解かれてきたが, もっと一般的にまとめて扱える部分も多々ある. その1つの試みとして, 上積分を一般化した可算劣加法的汎関数γを使って, Korovkin型の収束定理と, Fatou型の収束定理がどのように一般化されるかを求め, それをポテンシャル論に応用した. 測度0の集合に対応するものとして, γ-polar集合, ピー空間に対応するものとして, コンパクトな台を持つ連続関数族のγによる半-ノルムの閉包L(γ)を考える.1.Konovkin型の定理 L(γ)からL(γ)への正線型作用素の列が強収束するための条件を, 表現測度を使用して求めた.2.Fdton型の定理 開集合Uの境界β上に, 可算劣加法的汎関数γを与え, L(γ, β)の関数を内部Uに拡張した関数E_x(f)が, 与えられたapnouch領域に沿って境界に近づくとき, γ-poler集合を除いて, fに近づくための十分条件を求めた.3.ポテンシャル論への応用 (1).1R^<n+1>の半空間1R_+^<n+1>で, その境界1R^n上のconvolition各kを与え, k*g(gEL^p(1I^n)のPoisson積分は(k,P)^-容量zeroを除いて, k*gにnoniangertiallyに近づく. (2).Baueの調和空間の開集合Uに対し, Oの境界β上関数fEL(γ_1β)の一般ディレクレ解Hf(x)は, polar集合を除いてfine極限〓fE^<CV>_Zを持つ.