確率論的手法を用いた弱直交系列の漸近挙動の解析

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弱直交関数系としてとくにmultiplicative systemの漸近挙動の解析を、確率論的な手法を視点にすえながら、研究計画に基づき推進した。各地のセミナー・シンポジウムを活用して研究連絡を行い、また文献収集をしながら、本学の研究組織内での研究を進めてきた。(1)実解析と確率論の両分野の研究対象であるmultiplicative systemとその周辺のweakly multiplicative systemの漸近挙動については、D.L.Burkholder,B.Davis,R.F.Gundyなどによるwalsh系や三角級数に関連させた一連のMartingale研究と、W.F.Stout,V.Strassen,P.Revesz等によるMartingale-like過程の中心極限定理、重複対数の法則などの解析に密接に関係する部分であるので、その比較・関連性に重点をおいた。とくに、代表者がlocally generalized gaussian過程の研究で得たmaximal inequalityの有効性は、一様有界性をもった場合の解析に限定されるが、lacunary Walsh seriesの極限定理の研究でのF.MoriszやS.M.Saikova等の新しい手法や、S.Takahashiの間隙三角級数に関する研究を発展させているK.Hukuyamaの特異測度の下での重複対数の法則の研究は、これらの新しい手がかりを与えたものとして関連を研究している。同時にK.Azumaのmaimal inequalityの非有界な場合も継続して検討している。(2)multiplicative systemに関する平均的中心極限定理、重複対数の法則を緩やかな可積分可能性の付加条件を課して計算すると、必要となる評価式には、ノルム不等式に関するF.MoriszとP.Reveszの研究にアイデアを求めることになる。そのためには、まず、確率独立に近い手法が使える、blockwise-m-dependense確率変数列の非有界な場合の重複対数の法則とそれに使う評価式を研究することになった。(3)関連して、K.OhashiのWalsh関数の中心極限定理、重複対数の法則の研究もMartingale過程の埋め込みを用いた研究と重ね合ってきており、この面からの研究にも取り組み始めた。