対称空間上の調和解析とその応用の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

信号処理理論で重要なシャノンの標本化定理の拡張はいろいろな形で試みられている。本研究ではラドン変換の研究を主題としたが、ラドン変換への応用を目的として、コンパクト等質空間上での標本化定理の研究に取り組んだ。その結果有限巡回郡上のシャノン型標本化定理と、多項式に対するラグランジュの補間法および、2次元球面上の関数のオイラーの球関数による展開を用いて2次元球面に対する標本化定理を得た。一方、3次元ユークリッド空間のラドン変換は、空間で定義された関数に空間内の平面上で積分を考えることによって、すべての平面のなす空間上の関数を対応させるものである。平面は原点を通る法線を考えれば、球面上の点と原点からの距離によって決まり、上の結果を利用して、ラドン変換に対してシャノンの標本化定理を得ることができた。この考えはユークリッド平面上、2次元および3次元の実双曲空間上のラドン変換にも適応させることができ、それらの場合の標本化定理も得ることができた。現在論文として発表の準備中である。また一般の高次元球面の帯関数に対する標本化定理を得ることはできたが、一般の関数に対するものを現在追及中である。さらに、平面上の回転不変関数に対するフーリエ変換は、ハンケル変換となり、それに対する標本化定理はクレイマ-の定理として知られている。この定理をコンパクトおよび非コンパクト対称リーマン空間上の球型フーリエ変換に対してどこまで拡張が可能であるかを研究中である。