相対論的シュレディンガー作用素のレゾルベント

相対論的シュレディンガー作用素をスペクトル散乱理論の立場から詳しく解析するために、この作用素のレゾルベントの性質を多角的に調べるのが本研究の目的であった。この分野の多くの専門家の共通認識として言えることと思われるが、一般に作用素自身は捕え所のないものの、その特徴はスペクトルに反映される。一方、スペクトルとレゾルベントは本来的に表裏一体の関係にある。この故にスペクトル散乱理論においてレゾルベントの性質を調べることに意義がある。さて、本研究においては、まず相対論的シュレディンガー作用素に対する極限吸収原理を導いた。その次に、相対論的シュレディンガー作用素の連続スペクトル(実軸上の無限区間になる)の上でのレゾルベントの境界値(拡張されたレゾルベント)に関して新しい結果を導いた。即ち、スペクトルパラメータが大きくなるとき、拡張されたレゾルベントはノルム位相では決して0に収束しないが、作用素の強収束の意味で0に収束することがわかった。また、拡張されたレゾルベントの特徴付けを与えるように、相対論的シュレディンガー作用素に対して適切な放射条件を見い出すことにも成功した。これらの結果は相対論的シュレディンガー作用素に対して従来得られていた結果の改良ではないことを強調したい。本研究で得られた知見により、相対論的シュレディンガー作用素はレゾルベントの性質に関する限りディラック作用素に近く、通常のシュレディンガー作用素とは異なることがわかる。今後の課題として、ポテンシャルに関する強い制約条件を取り除きたいと考えている。

相対論的シュレディンガー作用素をスペクトル散乱理論の立場から詳しく解析するために、この作用素のレゾルベントの性質を多角的に調べるのが本研究の目的であった。この分野の多くの専門家の共通認識として言えることと思われるが、一般に作用素自身は捕え所のないものの、その特徴はスペクトルに反映される。一方、スペクトルとレゾルベントは本来的に表裏一体の関係にある。この故にスペクトル散乱理論においてレゾルベントの性質を調べることに意義がある。さて、本研究においては、まず相対論的シュレディンガー作用素に対する極限吸収原理を導いた。その次に、相対論的シュレディンガー作用素の連続スペクトル(実軸上の無限区間になる)の上でのレゾルベントの境界値(拡張されたレゾルベント)に関して新しい結果を導いた。即ち、スペクトルパラメータが大きくなるとき、拡張されたレゾルベントはノルム位相では決して0に収束しないが、作用素の強収束の意味で0に収束することがわかった。また、拡張されたレゾルベントの特徴付けを与えるように、相対論的シュレディンガー作用素に対して適切な放射条件を見い出すことにも成功した。これらの結果は相対論的シュレディンガー作用素に対して従来得られていた結果の改良ではないことを強調したい。本研究で得られた知見により、相対論的シュレディンガー作用素はレゾルベントの性質に関する限りディラック作用素に近く、通常のシュレディンガー作用素とは異なることがわかる。今後の課題として、ポテンシャルに関する強い制約条件を取り除きたいと考えている。