１階偏微分方程式系のスペクトル解析の新展開：ディラック、マックスウェルを超えて

本研究の目的は、新しいクラスの1階偏微分方程式系に対して、極限吸収原理、スぺクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式を導くことである。本研究で取り扱う1階偏微分方程式系は、これまでのスペクトル解析学では未開拓のクラスであり、ここに述べた3つの目的のうち, 一つでも導出に成功すれば、十分な成果になると考えている。Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の一般化となる1階偏微分方程式系を考察する点が本研究のポイントであり、この観点から2018 年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方のスペクトル解析の過去の研究論文を見直し、本研究の考察対象が1階偏微分方程式系の新しいクラスであることを確認した。これに基づいて、2019年度は、Dirac方程式の解に対して平滑化評価式の導出の研究に歩を進めて成功した。Dirac作用素に対する極限吸収原理そのも のは1970年代に見出されており、現在では新しい成果ではないが、従前の研究は平滑化評価式に繋がらない形の極限吸収原理であった。そこで、本研究では異なるアプローチを採用した、即ち、Dirac作用素のスペクトル関数の評価に基づいて極限吸収原理を確立し、次いで, スペクトル密度へと研究を進め、最終的にDirac方程式に対する平滑化評価式を導出した。2020年度 はMaxwell方程式に対しても、本研究の手法が通用することを確認し、Maxwell 方程式に対しても極限吸収原理、スぺクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式に関する成果をあげた。本来の最終年度である2021年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の直接的な一般化である斉次-非斉次型強伝播系に対して極限吸収原理の証明に成功し, スぺクトル密度関数の考察を行った。延長１年目の2022年度は斉次型強伝播系に対して平滑化評価式を導いた。

本研究の目的は、新しいクラスの1階偏微分方程式系に対して、極限吸収原理、スぺクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式を導くことである。本研究で取り扱う1階偏微分方程式系は、これまでのスペクトル解析学では未開拓のクラスであり、ここに述べた3つの目的のうち, 一つでも導出に成功すれば、十分な成果になると考えている。Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の一般化となる1階偏微分方程式系を考察する点が本研究のポイントであり、この観点から2018 年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方のスペクトル解析の過去の研究論文を見直し、本研究の考察対象が1階偏微分方程式系の新しいクラスであることを確認した。これに基づいて、2019年度は、Dirac方程式の解に対して平滑化評価式の導出の研究に歩を進めて成功した。Dirac作用素に対する極限吸収原理そのも のは1970年代に見出されており、現在では新しい成果ではないが、従前の研究は平滑化評価式に繋がらない形の極限吸収原理であった。そこで、本研究では異なるアプローチを採用した、即ち、Dirac作用素のスペクトル関数の評価に基づいて極限吸収原理を確立し、次いで, スペクトル密度へと研究を進め、最終的にDirac方程式に対する平滑化評価式を導出した。2020年度 はMaxwell方程式に対しても、本研究の手法が通用することを確認し、Maxwell 方程式に対しても極限吸収原理、スぺクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式に関する成果をあげた。本来の最終年度である2021年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の直接的な一般化である斉次-非斉次型強伝播系に対して極限吸収原理の証明に成功し, スぺクトル密度関数の考察を行った。延長１年目の2022年度は斉次型強伝播系に対して平滑化評価式を導いた。