心臓の拍動に関する数学的理論における興奮系を通しての複数振動子の同調

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本研究は、恒温動物の心臓の活動に観察される振動、同調等の現象を解析するための常微分方程式モデルを対象とし、特に、興奮系を通しての複数振動子の同調に関する解析を行なうことを目標とした。先ず、基礎的問題として、外部からの周期的な影響に対する振動系の反応を解析するためのモデルとして考えられる、周期的外力の加えられた振動子を取り扱った。そこでは、周期的外力に対する振動子の同調の特質を数値を用いて表すために次の方法を考案した。周期的外力の加えられた振動子を、振動子の持つ周期解の軌道の接線方向と法線方向の成分の時間的変化が従う常微分方程式系に変換する。この常微分方程式系において、外力の周期の回数に対して、接線方向の成分が振動子の周期を何回増加させるかという、接線方向の成分の増加回数の割合の極限として得られる実数を“rotation number"と呼ぶ。この実数は、1サイクルの外力に対する振動子の平均反応回数と考えられる。このrotation numberにより同調を特徴づける方法の実用化に向け、階段関数による周期的外力の加えられたBonhoeffer-van der Pol方程式に対するフォートランプログラムを作成し、外力の周期に対するratation numberの変化等の解析を行なった。次に、振動子と興奮系の結合における同調に関する問題を取り扱った。このような状態の同調は複数の同一振動子と興奮系の結合における同調とも考えられる。ここでは、二つのBonhoeffer-van der Pol方程式を結合させることによって得られる常微分方程式系に対するフォートランプログラムを作成し、数値解析を行った。二つのBonhoeffer-van der Pol方程式の一つは振動子、もう一つは興奮系となるようにパラメータの値を設定した。数値実験の結果、興奮系の変数が閾値を超えるように振動し、興奮系の変数と振動子の変数が1対1に同調するような周期解が存在することが分かった。