圧縮性Navier-Stokes方程式の自由境界問題の解の安定性解析

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本研究課題は1年半の研究期間が設けられていたが、研究代表者の特別研究員採用と共に移行することとなる。圧縮性Navier-Stokes方程式の自由境界問題の解の安定性を解析する手法として自由境界問題を固定境界問題に帰着する手法が一般的である。その為、本年度は固定境界における解の安定性解析を行い、自由境界問題の解の安定性解析を行うための準備を行った。具体的には層状領域における圧縮性Navier-Stokes方程式の時空間周期解の安定性解析を行った。安定性を考察する解の空間周期性に着目したBloch変換を用いた波数分解法を用いたフロケ解析を行った。この手法により非有界領域である層状領域上の問題を空間周期で分割された固定領域上の問題に帰着することができ、有界領域上で用いられる様々な結果を援用することができる。そうして、時空間周期解周りの線形化作用素のBlochパラメータの小さい範囲において虚軸近傍の固有値とその固有射影の評価を得た。また、非線形問題についても関数の積とBloch変換の性質を利用することによって漸近的主要部を取り出すことができ、最終的に次のような結果が得られた。Reynolds数とMach数が十分小さい時、小さい初期摂動に対して、圧縮性Navier-Stokes方程式の時空間周期解は漸近安定であり、時空間周期解の周りの解は空間n次元の場合、n-1次元の熱核と同じ減衰率を持つ。さらに時間無限大で空間3次元のとき、2次元熱方程式の解のように振る舞い、空間3次元の場合、1次元粘性Burgers方程式の解のように振る舞うことを示した。現在、この結果について論文執筆中である。