フラクタル性のある複雑ネットワークの臨界的性質と構造的特徴の間の一般的関係解明

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本研究課題では前年度において、決定論的スケールフリー・フラクタル・ネットワーク（SFN）の既存モデルを一般化することによって、現実世界のSFNが示す多様な構造的特徴を再現することができる数理モデルを構築し、ネットワークの構造的特徴とモデルの形成条件との対応関係を明らかにした。これにより決定論的SFNモデルでは、長距離にわたり離れ合うノード間の負の次数相関（負の長距離次数相関）が現れること、また同じ次数分布と同じ隣接次数相関を有するSFNであっても、クラスター性によってパーコレーション臨界点と臨界指数に違いが生じることが明らかになった。本年度では、決定論的SFNにおいて典型的な性質である負の長距離次数相関が一般のSFNにおいて果たす役割について調べた。この目的のため、まず数値計算を用いて長距離次数相関を有するネットワークを生成し、パーコレーション転移における臨界的性質を調べた。その結果、これまで知られていた隣接次数相関だけでなく、次隣接ノード間の長距離次数相関もまた臨界的性質に強く影響を与えることが明らかになった。また決定論的SFNと同じ次数分布を有するネットワークの臨界的性質が長距離次数相関のはたらく距離に応じてもとのSFNに近づくという結果は、SFNの性質が長距離次数相関に支配されていることを示唆する。また、パーコレーション臨界点では、ネットワークの最大連結成分にフラクタル構造が見られることが広く知られている一方で、高いクラスター性を有するネットワークの次数相関は負になりにくいことが知られている。そこで、スケールフリー性のような強い次数揺らぎを有し、かつ高いクラスター性も有するようなネットワークとしてランダム二部グラフのプロジェクションに着目し、パーコレーション臨界点における最大連結成分の構造的性質を解析的に明らかにした。