対称群に関連する代数の表現論およびリー環論の研究

本年度は、ヘッケ・クリフォード環が偶数の量子標数において$D^{(2)}_{\ell}$型リー環論を圏論化するという結果を出版した。この研究に関連して、クイヤー・リー超代数のカジュダン・ルスティック多項式に関するブランダンの予想について考察し、反例を得た。またアフィン量子群の基本既約表現のシャポヴァロフ形式の行列式を計算した。これにより、基本既約表現が特殊化で既約に保たれるための必要十分条件と、A型ヘッケ環の次数付カルタン行列式が得られた。この結果により、岡山大学の安東・鈴木・山田によるグレイシャー対応を用いたA型ヘッケ環の次数付カルタン行列式に関する予想が解決された。さらに対称群のスピン表現論について、一般化された中山予想、一般化されたパーフェクト・アイソメトリー、ブロックの斉次表示等についてリー環論の視点から考察した。最初の2つの問題については、ボゾン・フェルミオン対応や被約シューア関数を用いることで結果を得た。2011年3月には研究プログラム"On the interactions of Representation theory with Geometry and Combinatorics"に参加するために、ボンのハウスドルフ研究所に滞在し、関連研究者と情報交換・議論を行った。このうち京都大学数理解析研究所の柏原氏とソウル大学のカン氏と共同で「ヘッケ・クリフォード環に対応するコバノブ・ラウダ・ルキエ代数」の表示式の関係式を得た。これは先ほどの3つ目の問題の良い解答を与えており、今後はこの新しい代数を対称群のスピン表現のブルエ予想の解決に応用することが目標である。

本年度は、ヘッケ・クリフォード環が偶数の量子標数において$D^{(2)}_{\ell}$型リー環論を圏論化するという結果を出版した。この研究に関連して、クイヤー・リー超代数のカジュダン・ルスティック多項式に関するブランダンの予想について考察し、反例を得た。またアフィン量子群の基本既約表現のシャポヴァロフ形式の行列式を計算した。これにより、基本既約表現が特殊化で既約に保たれるための必要十分条件と、A型ヘッケ環の次数付カルタン行列式が得られた。この結果により、岡山大学の安東・鈴木・山田によるグレイシャー対応を用いたA型ヘッケ環の次数付カルタン行列式に関する予想が解決された。さらに対称群のスピン表現論について、一般化された中山予想、一般化されたパーフェクト・アイソメトリー、ブロックの斉次表示等についてリー環論の視点から考察した。最初の2つの問題については、ボゾン・フェルミオン対応や被約シューア関数を用いることで結果を得た。2011年3月には研究プログラム"On the interactions of Representation theory with Geometry and Combinatorics"に参加するために、ボンのハウスドルフ研究所に滞在し、関連研究者と情報交換・議論を行った。このうち京都大学数理解析研究所の柏原氏とソウル大学のカン氏と共同で「ヘッケ・クリフォード環に対応するコバノブ・ラウダ・ルキエ代数」の表示式の関係式を得た。これは先ほどの3つ目の問題の良い解答を与えており、今後はこの新しい代数を対称群のスピン表現のブルエ予想の解決に応用することが目標である。