On the motion of localized spot solutions in a domain with boundaries

当該年度は特にメトリックグラフ上のパルス解運動に関して解析を進めた．結果として, 最も単純な場合である, ノードが一つの Y 字型メトリックグラフにおいて, キルヒホッフ条件がノードに課されている場合にパルス解あるいはフロント解といった局在解の運動を記述する方程式を陽に書き下すことが出来た．その結果から, 局在解運動がノードから受ける影響は, 局在解同士の相互作用に現れる係数にマイナスの符号を付けた量に比例することがわかった．これはもし局在解同士が反発的に相互作用しているなら, その局在解はノードに近づくこと, 逆に互いに近づき合う相互作用なら, ノードから離れることが意味する．これまで知られていた, アレン・カーン方程式など具体的な方程式に現れる局在解の運動に関する結果を拡張する形で得られたこの結果は, ノードからの影響に相互作用の性質が直接的に関与しているという新たな知見を与えることとなった．さらに複数の局在解が存在する場合は, 局在解同士の相互作用, およびノードとの相互作用が互いに関係して, 極めて複雑な挙動が現れることも明らかにすることができた．これらは運動を記述する方程式を解析してはじめて知る得た知見であって, 帰着された運動方程式の有効性を示唆している．一方, 一般領域の問題に関しては, ある種のヘルムホルツ型の楕円型方程式を解く必要が生じるが, ノイマン境界条件が課されている場合, 境界の曲率が小さいとき, その解をある程度具体的に表示することに成功しつつある．次年度以降の解析の進展の大きな足がかりとなると期待される．

当該年度は特にメトリックグラフ上のパルス解運動に関して解析を進めた．結果として, 最も単純な場合である, ノードが一つの Y 字型メトリックグラフにおいて, キルヒホッフ条件がノードに課されている場合にパルス解あるいはフロント解といった局在解の運動を記述する方程式を陽に書き下すことが出来た．その結果から, 局在解運動がノードから受ける影響は, 局在解同士の相互作用に現れる係数にマイナスの符号を付けた量に比例することがわかった．これはもし局在解同士が反発的に相互作用しているなら, その局在解はノードに近づくこと, 逆に互いに近づき合う相互作用なら, ノードから離れることが意味する．これまで知られていた, アレン・カーン方程式など具体的な方程式に現れる局在解の運動に関する結果を拡張する形で得られたこの結果は, ノードからの影響に相互作用の性質が直接的に関与しているという新たな知見を与えることとなった．さらに複数の局在解が存在する場合は, 局在解同士の相互作用, およびノードとの相互作用が互いに関係して, 極めて複雑な挙動が現れることも明らかにすることができた．これらは運動を記述する方程式を解析してはじめて知る得た知見であって, 帰着された運動方程式の有効性を示唆している．一方, 一般領域の問題に関しては, ある種のヘルムホルツ型の楕円型方程式を解く必要が生じるが, ノイマン境界条件が課されている場合, 境界の曲率が小さいとき, その解をある程度具体的に表示することに成功しつつある．次年度以降の解析の進展の大きな足がかりとなると期待される．