非線形発展方程式に現われる界面の運動

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最終年度に当たる本年度は、界面を始めとする局在状態のさまざまなダイナミクスを、これまでの研究で得た結果をもとに見直すという作業を行った。特に、パルスの弱い相互作用に基づく解析を、空間一次元におけるパルスのダイナミクスに応用することにより、分岐問題を含め、既成の多くの問題を統一的に見ることが出来るようになった。例えば従来、定常問題の分岐問題として扱われていた問題は、分岐理論を用い、存在、安定性と別々に証明していかなくてはならない場合が多かったが、弱い相互作用のアプローチをすることによって、直接時間発展のダイナミクスを導くことが出来るため、存在と安定性が同時に、かつ容易に示される。特に進行波解の分岐問題に関してその効力は大きく、進行波ということを意識することさえ必要なく、自然に導くことが出来るようになった。更に、ダイナミクスを直接見ることが出来るため、進行波解の分岐点近傍における、パルスの粒子的振る舞いの存在と証明が可能となった。これは、従来数値実験でのみ確認されていた現象であり、その理論的裏付けを与えたことになる。このように、空間一次元の反応拡散方程式における局在解のさまざまな運動は、弱い相互作用のもとでは、ほぼ解析が可能になったといえる。しかし、空間次元が2次元以上では、より複雑なダイナミクスがいくらでも出現し得る。現在のところ、あるパターン形成問題における安定な尖塔状局在定常状態が弱い相互作用のもとで、単純に離れあうことが証明できているのみである。高次元空間における局在解のさまざまなダイナミクスに関する研究は、今ようやくその端緒が捉えられつつある状態と言える。この研究はパターンの時間発展を解析する上で大変重要であり、将来にわたる継続的な研究が望まれる。