Applications of arithmetic theory of algebraic groups to computational number theory

代数群算术理论在计算数论中的应用

• 批准号: 16540014
• 负责人: KIDA Masanari
• 金额: $ 1.98万
• 依托单位: The University of Electro-Communications
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-16540014/
• 关键词: Kummer theory; algebraic number theory; computational number theory; トーラス; 素数判定法

In this research we investigate a generalization of Kummer theory to fields without roots of unity. Kummer theory is a basic tool in algebra and number theory and has many applications in these areas. Our generalization uses commutative algebraic groups called norm tori. Under certain natural conditions, we prove a Kummer duality induced from a self-isogeny of norm tori. This is a natural extension of the classical Kummer theory. It also describes the cyclic extensions over certain fields without roots of unity.As an application, we develop a method to compute cyclic polynomials arising from our Kummer theory and calculate some example of such polynomials using computer algebra system MAGMA. In the case of quintic cyclic polynomial, we can show a relationship between our Kummer polynomials and classical Lehmer polynomials. This enables us to give a complete description of the decomposition law in the cyclic quintic extensions.As our result is quite general in the nature, we can expect more applications in the area of algebra and number theory.

在这项研究中，我们研究了Kummer理论在没有单位根的领域的推广。Kummer理论是代数和数论的基本工具，在这两个领域有着广泛的应用。我们的推广使用了称为范数环面的交换代数群。在一定的自然条件下，我们证明了由范数环面的自同源诱导的Kummer对偶。这是经典Kummer理论的自然延伸。作为应用，我们给出了一种基于Kummer理论的循环多项式的计算方法，并利用计算机代数系统MAGMA计算了这类多项式的一些例子。在五次循环多项式的情况下，我们可以证明我们的Kummer多项式与经典Lehmer多项式之间的关系。这使得我们能够完整地描述循环五次扩张中的分解规律。由于我们的结果在性质上是相当普遍的，我们可以期待在代数和数论领域中有更多的应用。

项目成果

最小ベクトルの係数の存在範囲に関する考察

关于最小向量系数存在范围的考虑

• 发表时间: 2005
• 期刊: 2005年暗号と情報セキュリティシンポジウム
• 作者: 金山直樹;木田雅成;太田和夫;國廣昇
• 通讯作者: 國廣昇

群と素数判定法

组和素性测试

• 发表时间: 2005
• 期刊: 仙台数論および組み合わせ論小研究集会2004報告集
• 作者: Naoki Terai;Ken-ichi Yoshida;木田 雅成
• 通讯作者: 木田 雅成

Kummer theory for norm algebraic tori.

范数代数环面的 Kummer 理论。

• 发表时间: 2005
• 期刊: J.Algebra 293
• 作者: Kida;Masanari
• 通讯作者: Masanari

冪根を含まない体のクンマー理論について

论库默尔的无根域理论

• 期刊: 第5回北陸数論小研究集会報告集 (印刷中)
• 作者: Shiro Goto;Ken-ichi Yoshida;木田雅成
• 通讯作者: 木田雅成

ノルム・トーラスのクンマー理論

库默范数环面理论

• 发表时间: 2005
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録 1451
• 作者: Naoki Terai;Ken-ichi Yoshida;木田雅成
• 通讯作者: 木田雅成