加群の変形と特異点

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昨年度より引き続き独立特異点(特に有理二重点)上の加群の半普遍変形、特に普遍族を具体的に構成することについて研究している。A型の有理二重点の場合には反射的加群の半普遍変形の完全な記述が得られた。つまり、半普遍変形空間の座標環の構造がわかり、生成元と関係式による普遍族の構成ができた。有理二重点の場合リ一環のdominant weightに対応して加算無限個存在する反射的加群それぞれの半普遍変形空間は、もちろん有限次元であるが、それらを変形による順序関係で関係づけていってできる有限次元空間(特異点)の極限のようなものを考えるのは自然であろう。そして、A型の場合には、Ginzburgのいう無限次元べき零多様体がそれにあたっていることがわかった。そこには何か理論的裏付けがあることが期待される。有理二重点上の半普遍変形空間の被約部分はQuiver varietyのはずであるが、そもそも変形空間は被約でないこと、特異点を変形させた場合の変形空間の変形の様子が、A型の場合に比較してみると異なっていることなどから、ALE空間上のインスタントンのモデュライと関連はあっても、全く同じものを扱っているわけではないと思うようになった。他の場合にも同様の方法により普遍続の構成を考えているが、やや発見的な方法であるため、もう少し理論的な理解が必要であると思われる。そして、より一般的な場合を扱うための理論的基準として、独立特異点上の加群の半普遍変形の代数化についても研究を開始した。