商特異点と導来圏

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一般の三角圏に対して,Bridgelandは安定性条件のモジュライ空間と言う複素多様体を構成した.この複素多様体は,いろんな観点から重要な空間であると考えられている.特に,安定性条件のモジュライ空間には,三角圏の自己圏同値のなす群が,自然に作用する.本年度はA型特異点の極小特異点解消の上の,連接層の有界導来圏に対する安定性条件の空間について,上原北斗氏や植田一石氏とともに,研究した.本年度にわかったことは,これが連結な複素多様体である,ということである.これまでに,この場合の安定性条件のモジュライには,特別な連結成分があり,それがアフィンワイル群の複素鏡映面(の加算無限個の和集合)の補集合と,複素平面から原点を除いたものの直積の,正則被覆空間になることがわかっていた.今回わかった事は,連結成分がこれしかない,ということである.また,この導来圏の自己圏同値のなす群は,Seidel-Thomasによるツイスト函手と自明な函手(直線束,多様体の自己同型,シフト函手)により生成されることがわかっていた.この事実は,上記連結成分が自己圏同値によって他の連結成分に移らない,と言う事と同値であったから,連結成分が一つしか無い,というのは自己圏同値のなす群の生成系を決定した結果よりも強い結果である.あと重要な問題としては,安定性条件のモジュライ空間が単連結であろう(上記被覆空間が普遍被覆空間であろう),というBridgelandの予想がある.これは,ツイスト函手のなす群がアフィンブレイド群に同型であるか,という問題と同値である.本年度は,この問題に対しても若干の進展を見た.