モジュライ空間に関連する非線形可積分系の研究

KdV方程式や戸田方程式など多くの非線形可積分系は「有限帯解」(「準周期解」とも呼ばれる)をもつ.これらの解には「スペクトル曲線」と呼ばれるRiemann面が付随していて,その上の代数幾何学的データが解を決めている.いわゆる「Whitham方程式」はこのような有限帯解の「変調」を特徴づける方程式である.過去数年来,2次元の量子重力理論や位相的場の理論においてWhitham方程式の新たな応用が見い出されている.さらに,最近SeibergとWittenの4次元の超対称性ゲージ理論の低エネルギーでの厳密解(「Seiberg-Witten解」)との関連が指摘された.今回の研究では等モノドロミ-問題とWhitham方程式との深い関係を示すいくつかの新たな結果を得た.まず,超対称ゲージ理論のSeiberg-Witten解の背後にあるWhitham方程式系の等モノドロミ-的解釈を与えた.この場合に現れる等モノドロミ-問題はPainleve III型方程式とその多成分化である.次に,Schlesinger型方程式とWhitham方程式との間に同様の関連を見い出した.この結果はさらにSchlesinger型方程式に無限遠のPoncare rank1の不確定特異点が1個加わった等モノドロミ-に対して拡張できた.最後に述べた等モノドロミ-問題は注目すべき一種の双対性をもつことが知られている(「双対等モノドロミ-問題」).いずれの場合も,小さいパラメータεを導入して,等モノドロミ-問題がε→0において漸近的に等スペクトル問題の有限帯解の変調とみなせることを示した.Whitham方程式は変調方程式としてそこからただちに導出される.

KdV方程式や戸田方程式など多くの非線形可積分系は「有限帯解」(「準周期解」とも呼ばれる)をもつ.これらの解には「スペクトル曲線」と呼ばれるRiemann面が付随していて,その上の代数幾何学的データが解を決めている.いわゆる「Whitham方程式」はこのような有限帯解の「変調」を特徴づける方程式である.過去数年来,2次元の量子重力理論や位相的場の理論においてWhitham方程式の新たな応用が見い出されている.さらに,最近SeibergとWittenの4次元の超対称性ゲージ理論の低エネルギーでの厳密解(「Seiberg-Witten解」)との関連が指摘された.今回の研究では等モノドロミ-問題とWhitham方程式との深い関係を示すいくつかの新たな結果を得た.まず,超対称ゲージ理論のSeiberg-Witten解の背後にあるWhitham方程式系の等モノドロミ-的解釈を与えた.この場合に現れる等モノドロミ-問題はPainleve III型方程式とその多成分化である.次に,Schlesinger型方程式とWhitham方程式との間に同様の関連を見い出した.この結果はさらにSchlesinger型方程式に無限遠のPoncare rank1の不確定特異点が1個加わった等モノドロミ-に対して拡張できた.最後に述べた等モノドロミ-問題は注目すべき一種の双対性をもつことが知られている(「双対等モノドロミ-問題」).いずれの場合も,小さいパラメータεを導入して,等モノドロミ-問題がε→0において漸近的に等スペクトル問題の有限帯解の変調とみなせることを示した.Whitham方程式は変調方程式としてそこからただちに導出される.