数理物理と寛用解析における新して可積分系の探求(公募研究)

当初の研究課題の中で,おもに数理物理に関連する可積分に関していくつかの成果があった。まず,KPヒエラルヒーや戸田ヒエラルヒーの無分散極限あるいは準古典極限に関して,これまではもっぱら方程式レベルの極限移行が議論されてきたが,この研究ではその背後の対称性や解空間のレベルでの極限移行の様子を明らかにすることができた。これはこれらの方程式のタウ函数や頂点作用素の準古典極限における漸近形を明確にすることにより可能になったものである。また,同様の準古典極限を別のタイプの可積分系,特に多成分ヒエラルヒーに対して拡張する方法が明らかになった。極限として現れるのはいわゆる Whithamヒエラルヒーとよばれるもので,位相的共形場の理論への応用がある。これらはソリトン方程式の範疇にあるが,高次元の可積分系についても興味ある結果を得た。まず自己双対重力の可積分変形の問題について二通りの場合を考察した。一つは特別な電磁場との結合系として得られるもので,twistor理論の枠内での位置付けを明らかにした。もう一つはMoyal代数を利用した変形で,一種の量子変形であるが,されに対してKPヒエラルヒーによく似た取り扱いができることを明らかにした。それを拡張する形でKPヒエラルヒーの高次元化を見いだすこともできている。さらにこれらの方程式を統一的に理解するための言葉としてW(∞)代数の概念が非常に有用であることもわかった。

当初の研究課題の中で,おもに数理物理に関連する可積分に関していくつかの成果があった。まず,KPヒエラルヒーや戸田ヒエラルヒーの無分散極限あるいは準古典極限に関して,これまではもっぱら方程式レベルの極限移行が議論されてきたが,この研究ではその背後の対称性や解空間のレベルでの極限移行の様子を明らかにすることができた。これはこれらの方程式のタウ函数や頂点作用素の準古典極限における漸近形を明確にすることにより可能になったものである。また,同様の準古典極限を別のタイプの可積分系,特に多成分ヒエラルヒーに対して拡張する方法が明らかになった。極限として現れるのはいわゆる Whithamヒエラルヒーとよばれるもので,位相的共形場の理論への応用がある。これらはソリトン方程式の範疇にあるが,高次元の可積分系についても興味ある結果を得た。まず自己双対重力の可積分変形の問題について二通りの場合を考察した。一つは特別な電磁場との結合系として得られるもので,twistor理論の枠内での位置付けを明らかにした。もう一つはMoyal代数を利用した変形で,一種の量子変形であるが,されに対してKPヒエラルヒーによく似た取り扱いができることを明らかにした。それを拡張する形でKPヒエラルヒーの高次元化を見いだすこともできている。さらにこれらの方程式を統一的に理解するための言葉としてW(∞)代数の概念が非常に有用であることもわかった。