数理科学の諸分野に現れる漸近解析的問題の研究

Kruskal--Segurの方法を中心に,漸近解析の問題をいくつか考察した.これらの研究は現在もまだ進行中で最終的な結論に至っていない部分も多いが,中間的報告の形でまとめる.1.接合漸近展開(matched asymptotics)の方法は応用上古くから用いられて来たもので,Kruskal--Segurの仕事もそれに基づいている.この方法の数学的な裏付けを与えることがこの研究の一つの目標であったが,標準的な縮小写像の方法を「引き延ばし変数」の複素平面上で適用すれば曖昧さのない定式化ができることがわかった.2.Kruskal--Segurの方法の応用例として,Hakim達が扱っているいくつかの問題(Saffman--Taylor fingeringを記述する非線形固有値問題,振り子に関するセパラトリクス分離の問題,など)について考察した.これらに関する数学的問題は,外部問題と内部問題を接合する部分と内部問題を解析する部分の二つに分かれるが,後者については依然として解析的に難しい部分(ある種の超越的定数の決定)がまだ残っている.3.偏微分方程式で定式化される問題(特にSwift--Hohenberg方程式)について,振幅方程式(Landau--Ginzburg方程式)近似の正当性の問題やある種のスケーリングの問題を考察した.少なくとも空間1次元の場合,これらの問題では波数空間における局在化が重要な役割を演じることが明らかになりつつあるが,詳しい解析は今後の課題である.4.漸近解析的問題を処理する計算機プログラム(特にMathematica)パッケージの構築の可能性について考えてみた.

Kruskal--Segurの方法を中心に,漸近解析の問題をいくつか考察した.これらの研究は現在もまだ進行中で最終的な結論に至っていない部分も多いが,中間的報告の形でまとめる.1.接合漸近展開(matched asymptotics)の方法は応用上古くから用いられて来たもので,Kruskal--Segurの仕事もそれに基づいている.この方法の数学的な裏付けを与えることがこの研究の一つの目標であったが,標準的な縮小写像の方法を「引き延ばし変数」の複素平面上で適用すれば曖昧さのない定式化ができることがわかった.2.Kruskal--Segurの方法の応用例として,Hakim達が扱っているいくつかの問題(Saffman--Taylor fingeringを記述する非線形固有値問題,振り子に関するセパラトリクス分離の問題,など)について考察した.これらに関する数学的問題は,外部問題と内部問題を接合する部分と内部問題を解析する部分の二つに分かれるが,後者については依然として解析的に難しい部分(ある種の超越的定数の決定)がまだ残っている.3.偏微分方程式で定式化される問題(特にSwift--Hohenberg方程式)について,振幅方程式(Landau--Ginzburg方程式)近似の正当性の問題やある種のスケーリングの問題を考察した.少なくとも空間1次元の場合,これらの問題では波数空間における局在化が重要な役割を演じることが明らかになりつつあるが,詳しい解析は今後の課題である.4.漸近解析的問題を処理する計算機プログラム(特にMathematica)パッケージの構築の可能性について考えてみた.