アラケロフ幾何とその応用

まず,本年度の研究で得た相対的ボゴモロフ不等式により,次の結果を得た.Xを非特異射影局面,Yを非特異射影曲線,f:X→YをY上の種類がg【greater than or equal】2の半安定曲(8g+4)deg(det(f_*(WX/Y)))【greater than or equal】gδ_0+Σ^^<[g/2]>__<i=1>4i(g-i)δ_iが成立する.ここで,δ_iは,すべての特異ファイバーにおけるi型のnodeの個数である.このことを用いて,以下の関数体上の効果的なボゴモロフ予想がかなりの広いカテゴリーで示せた.KをYの関数体,K^^~をKの代数閉包,Cをf:X→Yの生成ファイバーとする.さらに,JをCのヤコビ多数体,||||_<NT>をJ(K^^~)のネロン・テートの標準的高さから決まる準レノムとする.また,j:C(K^^~)→J(K^^~)をj(x)=(2g-2)x-wcで定義される射像とする.ここで,f^^~:X^^~→Yをf:X→Yの安定化モデルとするとき,f^^~は特異ファイバーをもち,任意のf^^~の特異ファイバーの0型のnodeは既約成分の特異点であると仮定する.この時,(].SU.[)とおく時,任意のP∈J(K^^~)に対して,{x∈C(K^^~)|||P-j(x)||_<NT>【less than or equal】r_0}は有限集合になる.r_0の計算に用いられるのが,非アルキメデス的アラケロフ幾何で,効果的なボゴモロフ予想を導くために,上記の不等式の他に,特異ファイバー上でのグリーン関数の精密な計算も必要であり,それも本年度の研究で行った.この計算の結果により,数論曲面上の双対層の自己交点数の下からの厳密な評価も得た.

まず,本年度の研究で得た相対的ボゴモロフ不等式により,次の結果を得た.Xを非特異射影局面,Yを非特異射影曲線,f:X→YをY上の種類がg【greater than or equal】2の半安定曲(8g+4)deg(det(f_*(WX/Y)))【greater than or equal】gδ_0+Σ^^<[g/2]>__<i=1>4i(g-i)δ_iが成立する.ここで,δ_iは,すべての特異ファイバーにおけるi型のnodeの個数である.このことを用いて,以下の関数体上の効果的なボゴモロフ予想がかなりの広いカテゴリーで示せた.KをYの関数体,K^^~をKの代数閉包,Cをf:X→Yの生成ファイバーとする.さらに,JをCのヤコビ多数体,||||_<NT>をJ(K^^~)のネロン・テートの標準的高さから決まる準レノムとする.また,j:C(K^^~)→J(K^^~)をj(x)=(2g-2)x-wcで定義される射像とする.ここで,f^^~:X^^~→Yをf:X→Yの安定化モデルとするとき,f^^~は特異ファイバーをもち,任意のf^^~の特異ファイバーの0型のnodeは既約成分の特異点であると仮定する.この時,(].SU.[)とおく時,任意のP∈J(K^^~)に対して,{x∈C(K^^~)|||P-j(x)||_<NT>【less than or equal】r_0}は有限集合になる.r_0の計算に用いられるのが,非アルキメデス的アラケロフ幾何で,効果的なボゴモロフ予想を導くために,上記の不等式の他に,特異ファイバー上でのグリーン関数の精密な計算も必要であり,それも本年度の研究で行った.この計算の結果により,数論曲面上の双対層の自己交点数の下からの厳密な評価も得た.