飛躍型マルコフ過程の確率解析

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マルコフ過程は粒子が時々刻々とランダムに状態空間を運動する様子を記述するが、その特徴づけの方法の１つにディリクレ形式が用いられる。最も典型的な例としては、状態空間を連続に運動するブラウン運動がディリクレ積分で特徴づけられる点が挙げられる。ディリクレ形式にポテンシャルを加えて得られるシュレディンガー形式は、粒子が状態空間を動くと同時に、その個数がランダムに増加・減少するような分枝マルコフ過程と特徴付けられる。シュレディンガー形式のスペクトル関数は粒子の増減を知るうえで大きな役割を果たす。研究代表者は主として、「元のマルコフ過程が対称安定過程（飛躍型マルコフ過程の代表例の1つ）であり、ポテンシャルが加藤クラスの測度で与えられたとき」の枠組みで、スペクトル関数の漸近評価を具体的に確立し、スペクトル関数の微分可能性に関する先行研究を裏付けるような結果を得た。特に、ポテンシャルが符号付きであるような場合や、ポテンシャルが異なる２種類の測度の1次結合で表される場合について扱っている点で最新であり、2022年に出版された論文“Asymptotic Behavior of Spectral Functions for Schroedinger Forms with Signed Measures”にてまとめている。また、2023年2月には福島市内で参加者25名程度による国内研究集会「マルコフ過程とその周辺」を開催したが、同様の問題をより複雑な飛躍型マルコフ過程へ一般化するためのヒントを得る機会となった。