Quantitative analysis for nonlinear evolution equations of diffusion type

扩散型非线性演化方程的定量分析

基本信息

批准号：
21KK0044
负责人：
赤木剛朗
金额：
$ 11.65万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (B))
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-10-07 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-21KK0044/
关键词：
非線形拡散方程式漸近挙動定量的解析発展方程式関数解析

项目摘要

2022年度は以下の3点について取り組んだ。（番号は交付申請時の計画に対応。）(1) Fast Diffusion方程式に対するCauchy-Dirichlet問題の有限時間消滅解の漸近形に対する収束レートを特定するために、定量的勾配流不等式の証明とそれを用いた新しいエネルギー法を構築した。この手法は近年Bonforte-Figalli(CPAM2021)が開発した非線形エントロピー法とは異なる手法だが、より簡易な議論でかつソボレフノルムに於ける収束レートを直接導出できるという点で優位性を伴う。さらに非線形エントロピー法は低符号解に対してのみ有効だが、ここで開発したエネルギー法は符号変化解への適応性も高い。また2022年度は非退化な符号変化する漸近形に収束するような解を具体的に構築することにも成功した。このような例は空間1次元では比較的容易だが、高次元では非自明である。さらにそのような符号変化解が指数安定になるような対称性を持つ初期値空間の構成も行った。(3) 分数冪ラプラシアンを伴う非線形拡散方程式に対するCauchy-Dirichlet問題の研究は、解の漸近解析に必要な解の正則性やエネルギー等式が担保されるクラスの解の一意存在性から証明する必要がある。古典的な問題と異なり放物型方程式の古典論が近似解の構成に適用できない。ここではより函数解析的な枠組みで証明を行い、解の正則性およびエネルギー（不）等式やレイリー商の単調性を証明した。F.Salin氏との共同研究。(4) 非線形拡散方程式に対する時空均質化問題に対する定性的結果を得ている。特に非負値解に対しては正則性の問題を克服できることが明らかになり、拡散項の指数に仮定をすることなく均質化方程式への収束、均質化行列の特徴づけ、修正項付き強収束を行い、非線形拡散の特性がどのように現れるか明らかにした。岡大将氏との共同研究。

在2022财政年度，我们研究了以下三点：（（数字对应于发行申请时的计划。）（1）确定Cauchy-Dirichlet的有限时间歼灭解决方案的渐近形式的收敛速率，用于快速扩散方程式，我们使用新的能量流量构建了一种定量的梯度流量，并使用了新的能量，并使用了新的能量。该方法与Bonforte-Figalli（CPAM2021）开发的非线性熵方法不同，但是它具有优势，因为它可以直接在Sobolevnorm中得出收敛速率，并进行更简单的讨论。此外，非线性熵方法仅对低代码解决方案有效，但是此处开发的能量方法也非常适合代码更改解决方案。在2022年，我们还成功地构建了一种解决方案，该解决方案将融合到非分类，签名渐近形式。在空间一个维度中，此类示例相对容易，但在更高的维度上并非平凡。此外，已经用对称性构建了初始值空间，以使这种符号变更解决方案呈指数稳定。（3）必须根据解决方案的渐近分析所需的解决方案规律性来证明对具有分数laplacians的非线性扩散方程的凯奇 - 迪里奇问题的研究，以及保证能量方程的溶液的独特解决方案。与经典问题不同，抛物线方程的经典理论不能应用于近似解决方案的构建。在这里，我们证明了解决方案的规律性和能量（在）方程式和瑞利商的单调性。与F. Salin的合作研究。（4）获得非线性扩散方程的时空均质化问题的定性结果。据透露，对于非负溶液，可以克服规律性问题，并且在不假设扩散项的指数，趋同于均质化方程，均质化矩阵的表征以及对修改术语的强收敛以阐明非线性扩散的特性出现的方式。与Oka Daisho的合作研究。