Quantitative analysis for nonlinear evolution equations of diffusion type

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2022年度は以下の3点について取り組んだ。（番号は交付申請時の計画に対応。）(1) Fast Diffusion方程式に対するCauchy-Dirichlet問題の有限時間消滅解の漸近形に対する収束レートを特定するために、定量的勾配流不等式の証明とそれを用いた新しいエネルギー法を構築した。この手法は近年Bonforte-Figalli(CPAM2021)が開発した非線形エントロピー法とは異なる手法だが、より簡易な議論でかつソボレフノルムに於ける収束レートを直接導出できるという点で優位性を伴う。さらに非線形エントロピー法は低符号解に対してのみ有効だが、ここで開発したエネルギー法は符号変化解への適応性も高い。また2022年度は非退化な符号変化する漸近形に収束するような解を具体的に構築することにも成功した。このような例は空間1次元では比較的容易だが、高次元では非自明である。さらにそのような符号変化解が指数安定になるような対称性を持つ初期値空間の構成も行った。(3) 分数冪ラプラシアンを伴う非線形拡散方程式に対するCauchy-Dirichlet問題の研究は、解の漸近解析に必要な解の正則性やエネルギー等式が担保されるクラスの解の一意存在性から証明する必要がある。古典的な問題と異なり放物型方程式の古典論が近似解の構成に適用できない。ここではより函数解析的な枠組みで証明を行い、解の正則性およびエネルギー（不）等式やレイリー商の単調性を証明した。F.Salin氏との共同研究。(4) 非線形拡散方程式に対する時空均質化問題に対する定性的結果を得ている。特に非負値解に対しては正則性の問題を克服できることが明らかになり、拡散項の指数に仮定をすることなく均質化方程式への収束、均質化行列の特徴づけ、修正項付き強収束を行い、非線形拡散の特性がどのように現れるか明らかにした。岡大将氏との共同研究。