Evolution equations with the coexistence of fractional derivatives and nonlinear structures -perturbation theory and asymptotic analysis-

今年度は、申請者が2019年にIsrael Journal of Mathemaitcs誌に発表した非整数階微分を伴う勾配流理論を拡張するために前年度から取り組んだ非凸型エネルギー汎関数に対する非整数階微分を伴う勾配流に関する予備的研究を発展させ、抽象論の枠組みで時間局所解の存在およびエネルギーに強圧性を仮定した上での時間大域解の存在を証明した。またその際に仮定する条件は古典的な勾配流の場合と同程度のものであり、抽象論として十分な完成度を持つものとなった。さらにこの抽象論を非整数階微分を伴う爆発項付き退化放物型方程式の初期値境界値問題へ応用し、時間局所解および時間大域解の存在性の証明に成功している。非整数階微分を伴う場合でも半線形の問題に対しては（半群理論はそのまま利用できないものの）積分方程式による接近法が有効であり、既にGalやWarmaらによって主だった問題は解決されていた（同氏らのモノグラフ参照）。一方、p-Laplacianに代表される退化楕円型作用素を伴う問題に対して類似の結果は全く見当たらない。これは積分方程式による接近法が適用できないため、有効な基礎理論が構築されていないことに起因する。今年度の研究成果は同問題に対する解析基盤を整備するものであり、それに基づいて同問題のさらなる解析の足がかりとなることが期待される。実際、小さな初期値に対する時間大域解の存在やそのような時間大域解の最適な減衰レートについて予備的な研究結果も得られている。特に興味深いことは、非整数階微分のオーダーを1に近づけても、古典的な結果とは連続的に接続しないことが明らかになった点である。このことはリーマン・リュービル（もしくはカプート）微分の定義に内在する構造と関係があり、同微分の定義の妥当性を検証する一つの材料となることが期待される。以上は中島慶人氏（東北大学）との共同研究の結果である。

今年度は、申請者が2019年にIsrael Journal of Mathemaitcs誌に発表した非整数階微分を伴う勾配流理論を拡張するために前年度から取り組んだ非凸型エネルギー汎関数に対する非整数階微分を伴う勾配流に関する予備的研究を発展させ、抽象論の枠組みで時間局所解の存在およびエネルギーに強圧性を仮定した上での時間大域解の存在を証明した。またその際に仮定する条件は古典的な勾配流の場合と同程度のものであり、抽象論として十分な完成度を持つものとなった。さらにこの抽象論を非整数階微分を伴う爆発項付き退化放物型方程式の初期値境界値問題へ応用し、時間局所解および時間大域解の存在性の証明に成功している。非整数階微分を伴う場合でも半線形の問題に対しては（半群理論はそのまま利用できないものの）積分方程式による接近法が有効であり、既にGalやWarmaらによって主だった問題は解決されていた（同氏らのモノグラフ参照）。一方、p-Laplacianに代表される退化楕円型作用素を伴う問題に対して類似の結果は全く見当たらない。これは積分方程式による接近法が適用できないため、有効な基礎理論が構築されていないことに起因する。今年度の研究成果は同問題に対する解析基盤を整備するものであり、それに基づいて同問題のさらなる解析の足がかりとなることが期待される。実際、小さな初期値に対する時間大域解の存在やそのような時間大域解の最適な減衰レートについて予備的な研究結果も得られている。特に興味深いことは、非整数階微分のオーダーを1に近づけても、古典的な結果とは連続的に接続しないことが明らかになった点である。このことはリーマン・リュービル（もしくはカプート）微分の定義に内在する構造と関係があり、同微分の定義の妥当性を検証する一つの材料となることが期待される。以上は中島慶人氏（東北大学）との共同研究の結果である。