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Evolution equations with the coexistence of fractional derivatives and nonlinear structures -perturbation theory and asymptotic analysis-

分数阶导数与非线性结构并存的演化方程-微扰理论与渐近分析-

基本信息

批准号：
21K18581
负责人：
赤木剛朗
金额：
$ 3.99万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-07-09 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-21K18581/
关键词：
非整数階微分発展方程式非線形問題摂動理論解の漸近挙動

项目摘要

今年度は、申請者が2019年にIsrael Journal of Mathemaitcs誌に発表した非整数階微分を伴う勾配流理論を拡張するために前年度から取り組んだ非凸型エネルギー汎関数に対する非整数階微分を伴う勾配流に関する予備的研究を発展させ、抽象論の枠組みで時間局所解の存在およびエネルギーに強圧性を仮定した上での時間大域解の存在を証明した。またその際に仮定する条件は古典的な勾配流の場合と同程度のものであり、抽象論として十分な完成度を持つものとなった。さらにこの抽象論を非整数階微分を伴う爆発項付き退化放物型方程式の初期値境界値問題へ応用し、時間局所解および時間大域解の存在性の証明に成功している。非整数階微分を伴う場合でも半線形の問題に対しては（半群理論はそのまま利用できないものの）積分方程式による接近法が有効であり、既にGalやWarmaらによって主だった問題は解決されていた（同氏らのモノグラフ参照）。一方、p-Laplacianに代表される退化楕円型作用素を伴う問題に対して類似の結果は全く見当たらない。これは積分方程式による接近法が適用できないため、有効な基礎理論が構築されていないことに起因する。今年度の研究成果は同問題に対する解析基盤を整備するものであり、それに基づいて同問題のさらなる解析の足がかりとなることが期待される。実際、小さな初期値に対する時間大域解の存在やそのような時間大域解の最適な減衰レートについて予備的な研究結果も得られている。特に興味深いことは、非整数階微分のオーダーを1に近づけても、古典的な結果とは連続的に接続しないことが明らかになった点である。このことはリーマン・リュービル（もしくはカプート）微分の定義に内在する構造と関係があり、同微分の定義の妥当性を検証する一つの材料となることが期待される。以上は中島慶人氏（東北大学）との共同研究の結果である。

This year, the applicant for the 2019 Israel Journal of Mathemaitcs published a report on the development of non-integer order differential equations associated with assignment flow theory. The previous year, the applicant for the 2019 Israel Journal of Mathemaitcs published a report on the development of non-integer order differential equations associated with assignment flow theory. The existence of a time-domain solution in an abstract theory is proved by the existence of a time-domain solution with strong pressure. The conditions for the determination of time are classical, abstract, and complete. In abstract theory, the non-integer order differential equation is proved successfully by the initial value problem of degenerate radiation equation. In the case of non-integer order differential equation, the semi-linear problem is solved by the approximation method of integral equation. A square, p-Laplacian representation of the degenerate action element is associated with the problem, and similar results are presented. This is because the approximation method in integral equations is applicable and effective basic theory is constructed. This year's research results are expected to be based on the analysis of the same problem The existence of time-domain solutions and the optimal attenuation of time-domain solutions for small and medium-sized problems are studied. Special interest deep, non-integer order differential, close to the end, classical, continuous, close to the end, close to the end The definition of differential equation is based on the intrinsic structure and the appropriateness of the definition of differential equation. The results of the joint research conducted by Keito Nakajima (Tohoku University) are as follows: