Evolution equations describing non-standard irreversible processes --Analysis on singularities emerging in the dynamics of solutions--

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2021年度の研究実績について説明する。（番号は交付申請書の研究の目的に対応する。）1.破壊力学等に現れる強い不可逆性を有する散逸系の研究　強い不可逆性を拘束条件に持つAllen-Cahn方程式の進行波解とその安定性解析については課題が全面的に解決した。同方程式が障害物問題として書き換えられることに着目し、障害物問題に対してバリア函数を構成することで指数安定性が証明できることを発見した。ただし古典的なAllen-Cahn方程式に対するX. Chenらの手法は大幅に改造する必要があった。本研究では解の挙動を幾つかの段階に分解し、勾配流構造に着目した解析によって解が進行波に漸近することを示し、その上でバリア函数を構成して囲い込みによる指数収束の証明を行った。その他、完全破壊モデルについても結果が出た。2.非整数階微分作用素を含む発展方程式の研究　Israel J. Math. 誌から発表した非整数階微分を伴う勾配流理論の応用について検討を進め、非整数階微分を伴うAllen-Cahn方程式の適切性とその解の漸近挙動の解析について予備的な研究を行った。特に勾配不等式を用いた解軌道の収束性の証明法について検討を行った。3.距離空間上の勾配流に対する摂動理論とその応用　前年度に引き続き変動指数を含む2種類の二重非線形発展方程式に関する研究を行った。非線形拡散方程式に関しては時間局所解の存在を証明することに成功した。4.非線形拡散方程式に対する解挙動の定量解析　前年度に引き続きフィンスラー・ラプラシアンを含む非線形拡散方程式に対する空間遠方で増大する初期値に対する解の存在定理の証明に取り組んだ。また当初の計画にはなかったがBonforte-FigalliらによるFast Diffusion方程式の解の漸近形への収束性に関する結果を勾配流理論の観点からやり直し、別証明を得ることに成功した。