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Evolution equations describing non-standard irreversible processes --Analysis on singularities emerging in the dynamics of solutions--

描述非标准不可逆过程的演化方程--解动力学中出现的奇点分析--

基本信息

批准号：
20H01812
负责人：
赤木剛朗
金额：
$ 11.32万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

2021年度の研究実績について説明する。（番号は交付申請書の研究の目的に対応する。）1.破壊力学等に現れる強い不可逆性を有する散逸系の研究　強い不可逆性を拘束条件に持つAllen-Cahn方程式の進行波解とその安定性解析については課題が全面的に解決した。同方程式が障害物問題として書き換えられることに着目し、障害物問題に対してバリア函数を構成することで指数安定性が証明できることを発見した。ただし古典的なAllen-Cahn方程式に対するX. Chenらの手法は大幅に改造する必要があった。本研究では解の挙動を幾つかの段階に分解し、勾配流構造に着目した解析によって解が進行波に漸近することを示し、その上でバリア函数を構成して囲い込みによる指数収束の証明を行った。その他、完全破壊モデルについても結果が出た。2.非整数階微分作用素を含む発展方程式の研究　Israel J. Math. 誌から発表した非整数階微分を伴う勾配流理論の応用について検討を進め、非整数階微分を伴うAllen-Cahn方程式の適切性とその解の漸近挙動の解析について予備的な研究を行った。特に勾配不等式を用いた解軌道の収束性の証明法について検討を行った。3.距離空間上の勾配流に対する摂動理論とその応用　前年度に引き続き変動指数を含む2種類の二重非線形発展方程式に関する研究を行った。非線形拡散方程式に関しては時間局所解の存在を証明することに成功した。4.非線形拡散方程式に対する解挙動の定量解析　前年度に引き続きフィンスラー・ラプラシアンを含む非線形拡散方程式に対する空間遠方で増大する初期値に対する解の存在定理の証明に取り組んだ。また当初の計画にはなかったがBonforte-FigalliらによるFast Diffusion方程式の解の漸近形への収束性に関する結果を勾配流理論の観点からやり直し、別証明を得ることに成功した。

2021 Annual Research Performance Statement. (The number corresponds to the purpose of the study for which the application was submitted.) 1. The problem of strong irreversibility, constraint conditions, progressive wave solutions and stability analysis of Allen-Cahn equations has been solved comprehensively. We find that exponential stability can be proved by constructing a linear function for the obstacle problem when the same equation is replaced by the obstacle problem. The classical Allen-Cahn equation is related to X. Chen's methods are greatly modified. In this paper, we study the structure of the solution, the analysis of the solution, the asymptotic analysis of the solution, the construction of the exponential bundle, and the proof of the solution. The result is that he is completely destroyed. 2. A Study of the Non-integer Order Differential Action Element and Its Evolution Equation Israel J. Math. A Preliminary Study of the Applicability of the Non-integer Order Differential Equation and Its Asymptotic Motion in the Distribution Theory. Special matching inequalities are used to solve the convergence of orbits. 3. A study on the relationship between the kinetic theory and the application of the two-dimensional nonlinear evolution equation is carried out. The non-linear dispersion equation is related to the existence of a time-dependent solution. 4. The existence theorem of the solution of the non-linear dispersion equation is proved in the first year of quantitative analysis. The results of the initial plan are based on the asymptotic form and convergence of the solution of the Fast Diffusion equation.