p群に対するガロアの逆問題の不分岐解に関する研究

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本研究の目的は, 分岐を制限したガロアの逆問題「代数体kと有限p群Gが与えられたとき, 不分岐ガロア拡大L/kでそのガロア群がGと同型なものが存在するか?」という問題を考察し, その応用として「代数体kの最大不分岐p拡大のガロア群G_k(p)の構造解析」を行うことである.pを奇素数とし, Eを位数がpの3乗の非アーベル群で群指数がpのものとし, E'を位数がpの3乗の非アーベル群で群指数がpの2乗のものとする. kが2次体でそのイデアル類群のp-ランクが2以上ならば, kのヒルベルトp類体の類数はpで割り切れ, さらに不分岐ガロア拡大L/kでそのガロア群がEと同型なものが存在することが, 研究代表者(野村)などにより証明されている. 今年度は、昨年度に続き, kがある種の(2, 2)拡大の場合に, 不分岐ガロア拡大L/kでそのガロア群がEやE'と同型な者が存在するかどうかを考察した. その一部について、研究代表者が4月14日開催の北陸数論セミナーにて発表した.研究分担者 藤井は, G_k(p)の岩澤理論的研究を進めており, 昨年度までにK/kがCM体k上の円分Z_p拡大の場合に, 非自明かつ最も基本的な場合にG_K(p)が非可換自由pro-p群とはならないことを示していた. さらに, kがCM体でない総虚体の場合にも幾つかの具体例を得ることに成功しており, その一部を早稲田大学で開催された小研究集会にて発表した.