非負の重みつきリッチ曲率をもつ空間上での幾何解析

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本年度の研究では、大きく分けて次の二つの問題に取り組んだ。一つはdilation不等式と同等と考えられる関数不等式の構成であり、もう一つはMahler体積と呼ばれる凸幾何学的量に対する新しい解析的な理解と定量的下界を与えたことである．一つ目について、dilation 不等式とは、集合を適当な意味で相似拡大した場合の体積の変化を記述する不等式であり、もともとは凸幾何学の文脈で利用されてきた。近年、この不等式は最適な形で曲がった空間（重みつきリッチ曲率の下界を伴ったリーマン多様体）上でも定式化された。本年度の研究では、dilation不等式を解析的な側面から理解することに重きを置いた。とくに、無限次元的なdilation不等式と同等であると考えられる関数不等式の構成を行った。この成果は今後論文にまとめる予定である。二つ目について、Mahler体積と呼ばれる幾何的量の評価に取り組んだ。Mahler体積とは、凸体とその偏極体の体積の積のことを指す。Mahler体積の最適な上界はBlaschke-Santalo不等式として知られている。一方で、最適な下界はMahler予想という名の未解決問題として知られている。本年度の研究では、Blaschke-Santalo不等式とMahler予想の両者に対する熱流による解析的な新しい理解を提示することに成功し、その応用としてMahler体積の新しい下界を与えることができた。とくに凸体の表面が十分に曲がっていれば、その凸体に対してMahler予想は正しいことを確認できた。