非負の重みつきリッチ曲率をもつ空間上での幾何解析

非负加权里奇曲率空间的几何分析

• 批准号: 22KJ2110
• 负责人: 辻 寛
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2110/
• 关键词: 凸幾何学; 関数不等式; 熱流; Mahler予想; 相対エントロピー

本年度の研究では、大きく分けて次の二つの問題に取り組んだ。一つはdilation不等式と同等と考えられる関数不等式の構成であり、もう一つはMahler体積と呼ばれる凸幾何学的量に対する新しい解析的な理解と定量的下界を与えたことである．一つ目について、dilation 不等式とは、集合を適当な意味で相似拡大した場合の体積の変化を記述する不等式であり、もともとは凸幾何学の文脈で利用されてきた。近年、この不等式は最適な形で曲がった空間（重みつきリッチ曲率の下界を伴ったリーマン多様体）上でも定式化された。本年度の研究では、dilation不等式を解析的な側面から理解することに重きを置いた。とくに、無限次元的なdilation不等式と同等であると考えられる関数不等式の構成を行った。この成果は今後論文にまとめる予定である。二つ目について、Mahler体積と呼ばれる幾何的量の評価に取り組んだ。Mahler体積とは、凸体とその偏極体の体積の積のことを指す。Mahler体積の最適な上界はBlaschke-Santalo不等式として知られている。一方で、最適な下界はMahler予想という名の未解決問題として知られている。本年度の研究では、Blaschke-Santalo不等式とMahler予想の両者に対する熱流による解析的な新しい理解を提示することに成功し、その応用としてMahler体積の新しい下界を与えることができた。とくに凸体の表面が十分に曲がっていれば、その凸体に対してMahler予想は正しいことを確認できた。

今年的研究集中在两个问题上：一个是构建被认为等于扩张不平等的功能不平等现象，另一个是对凸数学数量的新分析理解，称为Mahler量和定量的内部。首先，扩张不平等是一种不平等，它描述了在适当意义上扩展集合时体积的变化，并且最初在凸几何形状的背景下使用。近年来，这种不平等也已在最佳弯曲空间（具有加权丰富曲率的下限的Rhemann歧管）上进行了制定。今年的研究重点是从分析的角度理解扩张不平等。特别是，我们构建了一种函数不平等，被认为等同于无限二维扩张不平等。这项成就将来将在论文中总结。其次，我们研究了称为Mahler量的几何数量的评估。 Mahler体积是指凸体体积及其偏振体的产物。 Mahler体积的最佳上限被称为Blaschke-Santalo不平等。另一方面，最佳下限被称为未解决的问题，称为Mahler预测。今年的研究成功地对Blaschke-Santalo的不平等和热流的Ma​​hler预测进行了新的分析理解，从而为Mahler量提供了新的黑社会。特别是，如果凸体的表面足够弯曲，我们能够确认Mahler的预测对凸体是正确的。

项目成果

Blaschke-Santalo不等式と inverse Santalo不等式への熱によるアプロー チ

Blaschke-Santalo 和逆 Santalo 不等式的热学方法

• 发表时间: 2022
• 作者: Chika Higuchi;Go Nagamatsu;Kaori Ishikawa;Kazuto Nakada;Katsuhiko Hayashi;Hiroshi Tsuji;辻寛
• 通讯作者: 辻寛

A new connection between the volume product and regularization of heat flow

体积积与热流正则化之间的新联系

• 发表时间: 2023
• 作者: Chika Higuchi;Go Nagamatsu;Kaori Ishikawa;Kazuto Nakada;Katsuhiko Hayashi;Hiroshi Tsuji
• 通讯作者: Hiroshi Tsuji