log頂点作用素代数の幾何学的表現論とその応用に関する研究

申請者の研究目標は、logVOAの具体例の組織的な構成と、その表現圏の構造の理解に大別される。今年度は後者に関しては特筆すべき進展はなかったが、前者に関しては当初の予想を超えた進展があった。近年、理論物理の観点から、Sergei Gukov氏らによってq-級数に値を持つ3次元多様体Mの不変量(homological block)が導入された。Mが3または4-fibered Seifert多様体の場合、そのhomological blockはそれぞれ(1,p)-logVOA及び(p,p')-logVOAの既約表現の指標で書けるが、一般のN-fibered Seifertに関してはそのような関係は知られていなかった。申請者はN-fibered Seifert多様体のhomological blockが、格子VOAの既約表現の指標にAtiyah-Bottの公式を入れ子式に適用することで計算できることを発見し、対応するlogVOAの幾何的実現を予想した。一方、(1,p)-logVOAは主W代数のある無限次拡大なので、これを一般のW代数に拡張することは自然である。申請者はAlberta大学のThomas Creutzig氏及び中塚成徳氏との共同研究で、任意のW代数に付随する(1,p)-logVOAを構成し、sl2の場合については詳細な結果を得た。特にaffineVOAの場合を考えることで理論の見通しが飛躍的に良くなり、(1,p)-logVOAでは困難だった様々な問題が簡略化されることが期待される。さらに、受入研究者の樋上和弘氏との研究で、(p,p')-logVOAとトーラス絡み目の関係を発見した。これらの結果は近日中に学術雑誌に投稿する予定である。

申請者の研究目標は、logVOAの具体例の組織的な構成と、その表現圏の構造の理解に大別される。今年度は後者に関しては特筆すべき進展はなかったが、前者に関しては当初の予想を超えた進展があった。近年、理論物理の観点から、Sergei Gukov氏らによってq-級数に値を持つ3次元多様体Mの不変量(homological block)が導入された。Mが3または4-fibered Seifert多様体の場合、そのhomological blockはそれぞれ(1,p)-logVOA及び(p,p')-logVOAの既約表現の指標で書けるが、一般のN-fibered Seifertに関してはそのような関係は知られていなかった。申請者はN-fibered Seifert多様体のhomological blockが、格子VOAの既約表現の指標にAtiyah-Bottの公式を入れ子式に適用することで計算できることを発見し、対応するlogVOAの幾何的実現を予想した。一方、(1,p)-logVOAは主W代数のある無限次拡大なので、これを一般のW代数に拡張することは自然である。申請者はAlberta大学のThomas Creutzig氏及び中塚成徳氏との共同研究で、任意のW代数に付随する(1,p)-logVOAを構成し、sl2の場合については詳細な結果を得た。特にaffineVOAの場合を考えることで理論の見通しが飛躍的に良くなり、(1,p)-logVOAでは困難だった様々な問題が簡略化されることが期待される。さらに、受入研究者の樋上和弘氏との研究で、(p,p')-logVOAとトーラス絡み目の関係を発見した。これらの結果は近日中に学術雑誌に投稿する予定である。