log共型場理論に対応する頂点作用素代数の幾何学的表現論の研究

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頂点作用素代数(VOA)は2次元共形場理論の数学的定式化として80年代に導入され、様々な分野と関係する興味深い対象である。古典的なVOAは半単純と呼ばれる性質を持ち、十分な研究がなされてきたが、半単純でないVOA(logVOA)に関してはその複雑さ故に従来の代数的手法が通用せず、これまであまり研究が進んでいなかった。特に、logVOAの主要な例であるlogW代数に関する結果は、$A_1$型を除けば長年皆無であった。申請者はこれまで、Feigin-Tipuninによって発案されたlogW代数の幾何的構成の解決を皮切りに、一般のlogW代数の様々な基本的な性質を証明してきた。logW代数の既約表現の構成、$G\times W_k(g)$-加群構造、指標公式などに関する前年度までの結果をまとめ、学術雑誌に投稿した(近日中に採録予定)。また、前年度に投稿した論文が、Selecta.Mathに掲載された。さらに、研究を進めていく中で、申請者のlogW代数に関する前述の結果の対応物が、正標数の簡約群の表現論でも存在するという事実に気づいた。これにより、今まで暗中模索の状態だったlogW代数の幾何学的表現論の研究を、正標数の簡約群のそれを参考に進めていけば良いと気づき、研究方針の策定に大きな進展をもたらした。特に、logW代数の長年の重要な予想であるlog-Kazhdan-Lusztig対応(logW代数と1の冪根に付随する準Hopf代数の表現圏同値)や、前年度からの課題であったlogW代数の既約表現の指標と格子VOAの既約表現の指標の変換行列の(logW代数版)Kazhdan-Lusztig多項式による記述を、BezrukavnikovらによるBeilinson-Bernstein型導来圏同値のlogW代数版を構成することで解決するというアプローチを発案し、現在研究を進めている。