非正則領域における拡散過程

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1.ユークリッド空間内の有界なリプシッツ領域について、その上の拡散過程を導くサブマルチンゲール問題の定式化と解の存在について調べた。更に解の一意性についても研究を続けていく予定である。また、このような拡散過程の境界上の跡として現れるマルコフ過程のクラスについて、収束条件,一意性条件について調べた。2.拡散過程の解析的な性質を調べるための特殊関数について、区間[a,∞]上のLaguerre多項式から生成されるあるバナッハ代数に対して、極大イデアル空間の決定,一点のスペクトル合成,ヘルソン集合の特徴づけ、ウィナーの一般タウバー型定理を示した。3.領域の形状に関連し、単連結,完備な非正曲率リーマン多様体の一般的な構成法を発見した。これはI.M.-Singer-J.Dodziuk予想の否定的な解決を与えたM.T.Andersonの結果の改良にもつながる。更に、リーマン多様体が葉層構造をもつ場合に、葉に横断的なキリング場のみたす積分公式を得てその応用を与えた。また、非コンパクトな極小葉層多様体上の葉に横断的な【L^2】-キリング場から定まる作用素【A_2】が線形ホロノミー群のリー環に属することを示した。2次元リーマン多様体をユークリッド空間内の曲面として表現する問題を扱い、Hartman-Nirenbergの曲面論を利用し、【C^(n,1)】-metsicで【C^m】に埋まらない例を与えた。4.境界までこめて正則となるn次元超球からk次元超球(k>n)への固有正則写像で原点を固定するものが本質的に双正則写像となるための、必要十分条件を得た。また、コンパクトリーマン面上のフックス型微分方程式のパラメータの個数をlogarithmic jet burdleとconnectionを用いて計算した。5.個体群生態学における確率モデルの基本性質を調べた。