Pad〓近似の研究と応用

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数学におけるqアナログ理論において, 無限和と無限積を結ぶ様々な恒等式の存在が知られている. しかしそれらの等式の証明は個別的な方法しか一般に知られていなかった. 本研究では統計物理学におけるハード・ヘキサゴンモデル, カック・ムーディリー環の表現論とも関係していることが知られている特に有名なロジャー・ラマヌジャン恒等式の成立する理由を調べより一般な成分が等比的な風に減少する無限次ヤコビ行列の行列式と関係づけて一般化することを試みた. これはqアナログとPad〓を近似との関係を与えているとも考えられる. 具体的には通常のロジャー・ラマヌジャン恒等式は2つの一般対角方向に減少等比数列を持つ2つの行列PとQと単位対角行列の和の行列の行列式の2つの異った計算方法により導びかれることを示した. そして片方の行列Pに任意倍数パラメーターを導入してもその行列式の計算を行列の対角和の計算に持ちこむことにより組合せ論的な方法で同様の形の無限和と無限積を結ぶ恒等式が成立することを示した. この計算方法において一番難しいと思われるある種の等比級数達の初項がいくつになるかということは個々には計算可能であるが, 無限個あるこれらの量を統一的に計算する方法は現在のところ得られなかった. しかしこれらを周期的にヤング図形を計算することにより得られるところまでは解明された. そしてその数をこの方法で計算するとこれらのヤング図形の周期的な意味でのますめの数の間にいくつかの規則性が存在することが予想されることになった. これが証明され等比級数達の初項が統一的な方法で計算可能になれば, パラメーターがqの整数乗の形をしている時に特にロジャー・ラマタジャン恒等式が拡張されることになる. これは連分数展開におけるS連分数の無限積表示が得られることになる.