qアナログ理論の研究

qアナログ理論においてしばしば現れる無限和と無限積を結びつける等式の解釈には、組み合せ的、表現論的、楕円関数論を使ったもの、リ-環論に結びつけるものなど種々の考え方がある。本研究では代表者たちは、この種の等式の中で特に有名なRogersーRamanujan恒等式を対角線方向に幾何級数的に減少する成分を持つ三対角的無限次行列の相異った3種類の行列式計算により解釈することを試みた。ここで特に大切な無限次積表現の部分をacyclicなネックレスを添字として持つfactorの無限個の積となることを示した。そしてそれぞれはある種のヤング図形の周期的同値のもとでのます目の数の計算という組み合せ論的問題に帰着されることがわかった。そして得られたアルゴリズムを持ちいることにより1≦k≦9に対する約6000個のfactorを計算することができ、それを検討することによりモデュラスがqの1乗という形のfactorに整頓されることが解明した。この問題の進展はいくつかの予想が立てられているが現在はここまでである。他の方向の考察としては代数的ト-ラス上でq差分方程式を考え、それに付随して現れるbー関数のqアナログを用たドラ-ム複体およびドラ-ムコホモロジ-の問題がある。これは古典的なバ-ンズ表現に添った基本超幾何関数のジャクソン積分を用いた新しい定式化になっている。この差分形は有限次のホロノミック系になっており、最高次のコホモロジ-は解の漸近的ふるまいを調べることにより次元が具体的に計算できた。この研究課程でト-ラス埋め込みの方法が有効に用いられ、代数的ト-ラスのコンパクティフィケイションが重要であることがわかった。また凸体の組み合せ論的な問題とも関連しているので今後この方面の研究を続けるつもりである。

qアナログ理論においてしばしば現れる無限和と無限積を結びつける等式の解釈には、組み合せ的、表現論的、楕円関数論を使ったもの、リ-環論に結びつけるものなど種々の考え方がある。本研究では代表者たちは、この種の等式の中で特に有名なRogersーRamanujan恒等式を対角線方向に幾何級数的に減少する成分を持つ三対角的無限次行列の相異った3種類の行列式計算により解釈することを試みた。ここで特に大切な無限次積表現の部分をacyclicなネックレスを添字として持つfactorの無限個の積となることを示した。そしてそれぞれはある種のヤング図形の周期的同値のもとでのます目の数の計算という組み合せ論的問題に帰着されることがわかった。そして得られたアルゴリズムを持ちいることにより1≦k≦9に対する約6000個のfactorを計算することができ、それを検討することによりモデュラスがqの1乗という形のfactorに整頓されることが解明した。この問題の進展はいくつかの予想が立てられているが現在はここまでである。他の方向の考察としては代数的ト-ラス上でq差分方程式を考え、それに付随して現れるbー関数のqアナログを用たドラ-ム複体およびドラ-ムコホモロジ-の問題がある。これは古典的なバ-ンズ表現に添った基本超幾何関数のジャクソン積分を用いた新しい定式化になっている。この差分形は有限次のホロノミック系になっており、最高次のコホモロジ-は解の漸近的ふるまいを調べることにより次元が具体的に計算できた。この研究課程でト-ラス埋め込みの方法が有効に用いられ、代数的ト-ラスのコンパクティフィケイションが重要であることがわかった。また凸体の組み合せ論的な問題とも関連しているので今後この方面の研究を続けるつもりである。