群環の根基の巾零指数について

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有限群の表現論の中で、標数Pの体kの上で考えるモジュラ-表現という分野がある。モジュラ-表現の特色は、通常の表現と異なり、その根基J(kG)(群環kGの全ての極大イデアルの交わり)が0でないことにある。この根基J(kG)は重要であるが計算するのがむずかしい。J(kG)^<n-1>≠0、J(kG)^n=0となる自然数nをJ(kG)の巾零指数t(G)というが、これに関していくらかの研究がなされてきた。G.を有限P-可解群とするとき、wallaceは根基J(kG)の巾零指数t(g)について、a(p-1)+1≦t(G)≦P^a(ここでP^aはGのP-シロ-群Pの位数)となることを証明した。これに関してt(G)=P^aとなるときPが巡回群となることが証明された。そこでt(G)=a(P-1)+1のときGはどんな群となるのかを考えた。GがP-length1のとき(即ちG=Op',p(G))はGのP-シロ-群Pがelementary alrelian groupとなることがすでに知られているので、次にGのP-lengthが2のとき(即ちG=Op,p',p(G)のGの構造を考えた。実際にこの場合t(G)=a(p-1)+1となる実例Gがみつかっている。それら次の性質(*)を持っている。(*)G=NH、N〓H=1、NはGの正規P部分群、Hはフロベニウス群である。そこで逆に性質(*)を持つ群Gでt(G)=a(p-1)+1を満たす群は実例として見つかっている群に限るのかを考えた。その結果これに対する肯定的な結論を得た。そこで次の段階としては、t(G)=(p-1)+1を満たすGが性質(*)を持つことが示されれば、Gのp-lengthが2のときのGの構造はすべて決定されることになるが、この性質を満たさない実例が見つかっていないことを考えると、この部分の証明は比較的容易であると推測されるが、なお研究中である。