双曲型偏微分方程式系の初期境界値問題

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半線形熱方程式およびナヴィエ・スト-クス方程式の解の特異点について解析的な考察をした。自己増殖効果の非常に速い半線形熱方程式は燃焼論に典型的に現れる。初期値が滑らかでも解の値が有限時間内で無限大に発散するのが特徴である。この現象を解の爆発という。爆発は空間一様にはおきない。爆発のおこる点を爆発点と呼ぶことにすると、これは解の特異点と言うこともできる。燃焼論では発火のおこる発火点と呼ばれている。研究分担者はR.LKohn氏との共同研究により、爆発点付近の解の漸近挙動を詳細に調べた。その結果、漸近挙動により爆発点を特徴づけることに成功した。扱った方程式は、非線形項がベキ型であるので指数型の燃焼論の方程式とは異ったが、数学的厳密な解析という点で前例がなく、放物型方程式の解の特異点の研究に大きな道を開いた。流体力学の基礎方程式であるナヴィエ・スト-クス方程式については、解が爆発するかどうか、特異点を持つかとうかさえわかっていない。そこでナヴィエ・スト-クス方程式の弱解にもし爆発点があったら、どのような積分量が爆発しているかという問題を本学大学院生に課した。その結果、この院生は古典的内部正則性判定条件を拡張することに成功した。一方、研究分担者とH.Sohr氏は、ナヴィエ・スト-クス方程式について従来構成された弱解についての解析的性質、例えばどの程度の滑かさがあるかという問題を考察してきた。この研究過程でスト-クス方程式に対して新しいアプリオリ評価を導いたが、弱解が正則性判定条件を満たすかどうかは未解決である。