多様体上の微分方程式の解析

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パンルヴェ方程式の第2種(不確定型)特異点における簡約化定理がハミルトン形式の枠組の中で得られた。第1種特異点の場合は既に簡明な結果が得られていたが、この第2種の結果と併せて、パンルヴェ方程式の動かない特異点については、一応満足すべき結果が得られたことになる。これらの簡約化定理を用いると、一般解の多価性などについての半大域的性質について知ることができる。しかしパンルヴェ方程式の解についての本格的研究は、これからである。グレ-プナ-基底を用いて、超幾何関数の隣接関係式、ソリトン方程式である戸田方程式の超幾何関数解を、系統的に得る方法を見出した。一般に多変数の超幾何関数をパラメ-タも変数とみて零化する微分差分作用素のイデアルのグレ-プナ-基底と隣接関係式が1対1に対応することが重要な点である。グレ-プナ-基底に計算機で求めさせる。ロリツェラのFcの隣接関係式で、新しいものも得られた。オイラ-・ダルブ-方程式が多変数幾何関数のある族を生成するという興味ある事実を、ワイスナ-方程式というものに自然に拡張し、これが生成するホロノミックな解が、ワイスナ-方程式の性質として説明できることを見出した。確率偏微分方程式に従う系の最適制御問題に関して、係数が有界で滑らかの場合、最適制御が存在すること、値関数がベルマン原理を満すことを示した。さらに応用として、部分的可観測な制御問題に対しても、最適制御の存在で示した。スペリカル2・デザインの構成について、2次元形式を利用して興味ある結果を得た。