パンルヴェ系・ガルニエ系の初期値空間

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第Jパンルヴェ方程式と同値なハミルトンの正準方程式を第Jパンルヴェ系という。岡本和夫により構成された第Jパンルヴェ系の空義空間E_Jにある意味のシンプレクティックな構造が入れられることを昨年度示した。空間E_Jは時間変数の空間B_J上のファイバー・バンドルであることが結果的に分かるが、各ファイバーを初期値空間と言うのである。この初期値空間には普通の意味のシンプレクティック構造が入る。昨年度の研究は解曲線をどこまでも追跡できることが保証されている定義空間に、都合の良い座標系を選ぶことを目的に行われたのであるが、正準座標系が選ばれたとなると当然、空間E_J上のハミルトンの正準方程式系が第Jパンルヴェ系以外にあるかということが問題となる。今年度の研究は主としてこの問題の解決に当てられた。空間E_Jは各ファイバーがコンパクトな空間E_Jから有限個の因子を除いたものである。今年度得た結果は、空間E_Jにまで有理的に延びる空間E_J上正則な正準方程式系は、第Jパンルヴェ系に限るというものである。条件がひとつ付いているのは気に入らないが、もし空間E_J上の正則関数は必ず空間E_J上にまで有理的に延びるということが正しければ、この条件は除くことが出来る。我々の結果は重要であると思う。それはパンルヴェ方程式がよくよくうまく選ばれたものであることの新しい証拠であるだけでなく、その非線形モノドロミ-群などの研究が空間E_Jの、正確には、初期値空間の幾何に還元されることを示しているからである。研究分担者は、グレブナ基底の計算システムkan/smlのVersion2の公開および種々のアルゴリズムの開発など計算解析の研究を行った。設備備品費で購入したハードディスクは以上の研究を良く支援してくれた。