放物型方程式に対する混合問題の基本解の構成と応用

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放物型方程式の初期値問題の基本解が助変数の付いた擬微分作用素として構成される事はすでに明らかになっている。二階放物型混合問題の基本解の構成について同様の事を目ざした。この場合には、擬微分作用素として構成するのは無理であって、ある種の積分作用素を使って構成する事をめざした。その積分作用素は擬微分作用素の表象のcalculusと類似の性質を持つものであり、その結果形式的な表象の計算によって、基本解の漸近形が求められる。本年度計画されていたディレクレ問題、ノイマン問題、第3種、斜交微分及び特異境界値問題について、上記の基本階の構成ができたので、論文としてまとめる予定である。基本解の漸近形を固有値の漸近挙動に応用できて、第3種、斜交微分及び特異境界値問題については、固有値分布について新しい結果が得られた。以後、漸近挙動の計算方法が明らかになったので、幾何学的意味付けを考察する事が残っている。万一ノイマン問題、より一般の退化した放物型混合問題の基本解の構成については、以前研究していた退化した放物型初期値問題の基本解の構成が応用できると考えられる。これについては、より精密な積分作用素のクラスを考える必要がある事が明らかになった。退化して放物型混合問題の基本解の構成とその漸近挙動への応用が残った問題である。さらに、関数解析的手法による発展作用素の構成との関係、さらに確率論的手法による基本解の構成との関係を調べる。万一ノイマン問題については関数論への応用についても探りたい。