境界条件をもつ拡散方程式の研究(特に基本解の構成)とその応用

ヘルダー連続係数をもち斜反射境界条件をみたす領域上の拡散過程の一意的存在を示し,それを利用し対応する拡散方程式の基本解に対し path integral表現を与えて基本解の一意性と正値性を導いた.それを示すための基本は、半空間における基本解の具体的構成と領域の近似に対する基本解の安定についての結果である.佐藤のb函数の立場より,最も一般的な超幾何函数を定式化し,更にtwistedドラム理論の立場よりそれが常にオイラー型積分表示をもつことを示した.また,青本・ゲルファントの超幾何微分方程式に対し,独立な解をすべて積分で与え,そのモノドロミー群決定の基礎を与えた.複素2次元ユークリッド空間から複素3次元ユークリッド空間への超平面を保存する写像のうち,単項写像の形を決定した.また,3次多項式写像の場合に,その特徴づけを与えた.重みexp(-X^m)(m=2,4,6,…)に関する直交多項式の零点を補間点とする高次エルミート・フェイエール補間多項式の各点収束の問題を解決した.シュヴァルツ超函数の積を含む新しい超函数概念“パラ超函数"を提起した.これにおいては,シュヴァルツの超函数とパラ超函数の積はパラ超函数として定まり,コロンボの超函数と異なり,旧来の積の値はすべて保存されることも導いた.非特異射影代数多様体上の中間次元Chow群は無限次元であるが,代数的サイクルの同値関係に積の概念を導入し,ホモロジー同値のベキに伴う次数加群の次数2以下の部分を調べその構造を解明した.その結果次数2では,重さ2のホッジ構造に密接に関連しており,次数1では,Ahel-Jacobi写像の核が(ほぼ)ホモロジー同値の自集と一致することが分かった.

ヘルダー連続係数をもち斜反射境界条件をみたす領域上の拡散過程の一意的存在を示し,それを利用し対応する拡散方程式の基本解に対し path integral表現を与えて基本解の一意性と正値性を導いた.それを示すための基本は、半空間における基本解の具体的構成と領域の近似に対する基本解の安定についての結果である.佐藤のb函数の立場より,最も一般的な超幾何函数を定式化し,更にtwistedドラム理論の立場よりそれが常にオイラー型積分表示をもつことを示した.また,青本・ゲルファントの超幾何微分方程式に対し,独立な解をすべて積分で与え,そのモノドロミー群決定の基礎を与えた.複素2次元ユークリッド空間から複素3次元ユークリッド空間への超平面を保存する写像のうち,単項写像の形を決定した.また,3次多項式写像の場合に,その特徴づけを与えた.重みexp(-X^m)(m=2,4,6,…)に関する直交多項式の零点を補間点とする高次エルミート・フェイエール補間多項式の各点収束の問題を解決した.シュヴァルツ超函数の積を含む新しい超函数概念“パラ超函数"を提起した.これにおいては,シュヴァルツの超函数とパラ超函数の積はパラ超函数として定まり,コロンボの超函数と異なり,旧来の積の値はすべて保存されることも導いた.非特異射影代数多様体上の中間次元Chow群は無限次元であるが,代数的サイクルの同値関係に積の概念を導入し,ホモロジー同値のベキに伴う次数加群の次数2以下の部分を調べその構造を解明した.その結果次数2では,重さ2のホッジ構造に密接に関連しており,次数1では,Ahel-Jacobi写像の核が(ほぼ)ホモロジー同値の自集と一致することが分かった.