リ-マン面上の有理型函数とワイエルストラス点の研究

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本研究では、与えられた閉リ-マン面上に存在可能な比較的位数の小さな有理型函数の特徴付けに関する問題,また一般のリ-マン多様体における諸問題についていくつかの成果を得た.加藤は主にCoppensと共同で以下の結果を得た.閉リ-マン面を特異点が結節点のみの平面代数曲線とみた場合,その結節点の数δと曲線の次数dの間にδ<d^2/4-d+3という関係があれば位数d-3の有理型函数は存在せず,δ<(d^2-4d+7)/2ならば位数d-2の有理型函数は1つの結節点を不動点としてもつ分数函数になり,δ<(d^2-4d+3)/2ならば位数d-1の有理型函数は曲線上の1点を不動点としてもつ分数函数になる.また上記の不等号が等号になった場合各位数の有理型函数がみたすべき条件を考察し,それに見合う例が存在することを示すことによりこれらの評価が最良であることも証明した.証明法は,初等的であるがやや冗長な方法と,ハルツホルンの一般化された因子を用いる簡潔な方法がある.次に,閉リ-マン面の種数が与えられ,比較的位数の小さな有理型函数がいくつか存在するとき,その面を平面代数曲線としてみたときの特徴付けについて考察しいくつかの結果を得た.柳は,離散時間ガウス型通信路の容量がフィ-ドバックによって増加するための必要十分条件をノイズの型によって与えた.中内は,3次元コンパクト多様体において任意に与えられた定数に対して,面積がそれ以下のコンパクト安定極小局面の全体はC^∞位相でコンパクトであることを示した.柳原は,擬等角写像の逆写像に関する変分公式を発見した.これらの研究は特に本研究の解析的な側面を支えるものである.