整環の研究

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整環の研究において基本的役割を演じるのは素イデアルの動向である。整環の具体的例でstrongly graded ringsと多項式環で素イデアルの動向を調べた。その成果は「研究発表」に掲載の通りである。1.Strongly graded ringsの場合;ある種の素イデアルの動向は完全につかむことができたがstrongly graded ringsが極大整環,vーHC orders,Hereditary orders等になる条件を発見するためには不十分だった。従って,これは今後の課題として残る。Primenessを除いた群環が極大整環になる群論的特徴付は研究する時間を持つことができなかった。この問題はイギリスのBrownらにより注目され,又,重要な問題なのでなるぺく早く着手したい。2.多項式環の場合;多項式環が極大整環,Hereditary環になる条件は見つかっている。vーHS整環になる条件は部分的解答があるのみである。「研究発表」に掲載した多項式環の結果を完全な解答を得るために適用することも平成4年度以降に残された課題である。3.最近,非可環Valuation環が注目を浴び始めている。これはロシアのDubrobinにより十数年にわたる研究の後にアメリカ,ヨ-ロッパの研究者が注目し,研究を始めだした。Valuation環はPrufer環を調べる為の基本的道具であり,又,Prufer環は整環の中で中心的役割を演じている。これらの理由で我々も注目し,研究を始めた。DubrobinがP.I.valuation ringsの場合に素イデアルを完全に決定した。これを受けて,我々は全てのPrimary idealsを決定することが出来た。これによりP.I.prufer ringsをを分類することが可能になると思っている。これも整環の立場からは重要な課題である。