乗法的イデアル論の総合的研究

代数的立場から整環の構造を決定する研究においては下記のような成果を得ることができた。(1)Enveloping algebrasを含む、Goodearlより定義されたPBW extensionsが極大整環になる条件を決定することが出来た。更に、素v-イデアアルの構造も決定することが出来た。これらは将来代数的解析学の分野で応用される可能性を秘めている。(2)Morita context ringsにおいてはそれらが極大整環、Dedekind整環、Asano整環、Krull整環になる条件をGraded ring Theoryを使用して決定することが出来た。(3)Semi-local Bezout整環については、Morandi,Grater等により得られていた多くの特徴づけに加えて、局所化の立場からの特徴づけを与えた。この特徴づけをPrufer整環の研究に応用する予定である。(4)Hereditary整環の研究において使用されたIdealizersの理論をSemi-hereditary整環に適用して、新しいseimi-hereditary整環のclassを見つけることが出来た。更にseimi-hereditary整環がIdealizersにより得られる条件を与えることも出来た。(5)Prufer整環の中の素イデアル、準素イデアルの構造を決定することが出来た。この準素イデアルはDubrovin valuation ringsの中の全てのtorsion theoryを決定することに応用される。解析的・幾何的立場からのイデアル論の研究及びそれの解析・幾何への応用は時間的制約のため実行出来なかった。これらは今後の課題である。尚、上記(1)〜(5)の結果はことなるJournalsに投稿し3つはすでに受理されている。

代数的立場から整環の構造を決定する研究においては下記のような成果を得ることができた。(1)Enveloping algebrasを含む、Goodearlより定義されたPBW extensionsが極大整環になる条件を決定することが出来た。更に、素v-イデアアルの構造も決定することが出来た。これらは将来代数的解析学の分野で応用される可能性を秘めている。(2)Morita context ringsにおいてはそれらが極大整環、Dedekind整環、Asano整環、Krull整環になる条件をGraded ring Theoryを使用して決定することが出来た。(3)Semi-local Bezout整環については、Morandi,Grater等により得られていた多くの特徴づけに加えて、局所化の立場からの特徴づけを与えた。この特徴づけをPrufer整環の研究に応用する予定である。(4)Hereditary整環の研究において使用されたIdealizersの理論をSemi-hereditary整環に適用して、新しいseimi-hereditary整環のclassを見つけることが出来た。更にseimi-hereditary整環がIdealizersにより得られる条件を与えることも出来た。(5)Prufer整環の中の素イデアル、準素イデアルの構造を決定することが出来た。この準素イデアルはDubrovin valuation ringsの中の全てのtorsion theoryを決定することに応用される。解析的・幾何的立場からのイデアル論の研究及びそれの解析・幾何への応用は時間的制約のため実行出来なかった。これらは今後の課題である。尚、上記(1)〜(5)の結果はことなるJournalsに投稿し3つはすでに受理されている。