Moyal-Produkt in der Quantenfeldtheorie

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Bei der Realisierung von Konzepten nicht-kommutativer Geometrie in physikalischen Modellen stößt man auf Wechselwirkungen, die nicht-lokal und in wohlbestimmter Weise auch nicht-Lorentz-kovariant sind: sogenannten Moyalprodukten von Feldern. Im Rahmen klassischer Feldtheorien sind mittlerweile Umformulierungen aller bekannten Wechselwirkungen (einschließlich der Gravitation) bekannt. Die Quantisierung solcher Modelle ist jedoch noch immer nicht gut verstanden. Sogar störungstheoretische Ansätze sind nicht ohne weiteres formulierbar und zeigen deutlich auf, wie hilfreich die in herkömmlichen Theorien zugrundegelegten Konzepte von Lorentzinvarianz und Lokalität sind. Es geht nun darum, gewissermaßen ad hoc, aber dennoch systematisch höhere Ordnungen der Störungstheorie mathematisch konsistent zu definieren und dann die hieraus resultierenden physikalischen Eigenschaften der Modelltheorien zu beschreiben. Ausgangspunkt sind Modelle wechselwirkender skalarer Felder, dann aber vor allem abelsche Eichtheorien. Hier muss die Unitarität über die Konstruktion nach Becchi-Rouet-Stora gewährleistet und damit eine physikalisch sinnvolle Definition eines Hilbertraums der Theorie gefunden werden. Da mittlerweile Ströme konstruierbar sind, die auf quantisiertem Niveau erhalten sind, scheint dies sicher möglich zu sein.