モ-ス理論におけるコホモロジー要素の役割について

ゲージ理論に現れる無限次元空間上の構成が、有限次元空間に対する構成のアナロジーとなっている場合がある。当該年度の研究目的は、(1)コホモロジー要素を含むモ-ス理論的構成(2)結び目の(パラメータ付き)指数のモ-ス理論的解釈の可能性に対してこれを考察することであった。(1)については深谷氏の最近の研究にともなって環境が一変し、研究の枠組み自体を改めて見直す必要に迫られた。(2)はもともと3次元多様体を対象とするが、新たに2、3、4次元にわたる研究の構想に発展的に解消され、特に2次元に対して次のような視点をうることができた。(3)2次元多様体上の平坦接続のモジュライ空間とリー群上のリーマン幾何との関連このモジュライ空間のコホモロジー群へのアプローチは、数論的に有限体上考察する方法と、微分幾何的になめらかな接続全体の空間を考える方法とがあった。いずれも深い方法である。だが、新たに、第三の方法として、リー群上のあるループ空間に対して、古典的なモ-ス理論を適用することが可能とわかった。2次元多様体が球面のときにはループ空間との対応は既知であった。第三の方法は、この特殊な場合の拡張とみなすことができる。3次元多様体のなかにある結び目の補空間は2次元的な性質を持つと知られている。この空間に対して上述の方法を適用することは、今後の課題である。また、博士課程2年の河井真悟氏との共同研究により、リーマン面の上の平坦接続を微分方程式として考察し、特にトーラスの上で、複素構造の変形にともなうモジュライ空間の和集合のうえで、自然な退化したシンプレティック構造を決定した。

ゲージ理論に現れる無限次元空間上の構成が、有限次元空間に対する構成のアナロジーとなっている場合がある。当該年度の研究目的は、(1)コホモロジー要素を含むモ-ス理論的構成(2)結び目の(パラメータ付き)指数のモ-ス理論的解釈の可能性に対してこれを考察することであった。(1)については深谷氏の最近の研究にともなって環境が一変し、研究の枠組み自体を改めて見直す必要に迫られた。(2)はもともと3次元多様体を対象とするが、新たに2、3、4次元にわたる研究の構想に発展的に解消され、特に2次元に対して次のような視点をうることができた。(3)2次元多様体上の平坦接続のモジュライ空間とリー群上のリーマン幾何との関連このモジュライ空間のコホモロジー群へのアプローチは、数論的に有限体上考察する方法と、微分幾何的になめらかな接続全体の空間を考える方法とがあった。いずれも深い方法である。だが、新たに、第三の方法として、リー群上のあるループ空間に対して、古典的なモ-ス理論を適用することが可能とわかった。2次元多様体が球面のときにはループ空間との対応は既知であった。第三の方法は、この特殊な場合の拡張とみなすことができる。3次元多様体のなかにある結び目の補空間は2次元的な性質を持つと知られている。この空間に対して上述の方法を適用することは、今後の課題である。また、博士課程2年の河井真悟氏との共同研究により、リーマン面の上の平坦接続を微分方程式として考察し、特にトーラスの上で、複素構造の変形にともなうモジュライ空間の和集合のうえで、自然な退化したシンプレティック構造を決定した。