代数群の作用を受ける代数多様体の研究

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代数群の作用を受ける代数多様体の研究を進めるにあたって、本年度は離散群の作用を受ける複素曲面の研究を行なった。具体的には、2次元正規複素解析空間Xと、Xの自己同型群AutXの離散部分群GでXに真に不連続に作用するもののペア(X、G)で、次の2条件を満たすものを考える:(1)商解析空間X/Gがaffine平面A^2と同型になる。(2)自然な全射pi:X→X/G〓A^2の分岐曲線B⊂A^2が、方程式X^2=Y^q(qは3以上の自然数)で与えられる。(X、G)を上記2条件をみたす複素局面Xと、GCAutXのペアとする時、pi:X→X/G=A^2が次の普遍性の条件を満たすならば、piをeB(eは2以上の自然数)で分岐する極大ガロア被覆と呼ぶ:(普遍性条件)piはちょうどeBで分岐する被覆で、更に高ReBで分岐する任意の被覆pi´:Y→A^2に対して、正則早像psi:X→Yが存在してpi´opsi=piをみたす。M.Namba著、Branched coverings and algebraic Functions, Longman Scientific & Technicalにおいて、q=3の場合の(X、G)の詳細な研究がなされており、本研究ではこれをqが3以上の自然数の場合に一般化して考察を進め、次の結果を得た。定理(1)e=2の場合、2Bで分岐するA^2の極大ガロア被覆(X、G)は存在する。このとき、X〓A^2、G〓D_<2q>(D_<2q>は位数2qの正2面体群)が成立する。(2)e=3の時、q=3,4,5ならば3Bで分岐するA^2の極大ガロア被覆(X、G)は存在する。この場合、Gは有限群となり、その具体的構造も明確に記述できる。(3)e=3,q=6ならば3Bで分岐するA^2の極大ガロア被覆は存在しない。以上の結果の応用として、射影平面P^2上の、興味深い有限ガロア群をもつガロア被覆の例も構成できる。本研究の詳細については、現在論文を準備中である。