パフィアンによる和公式とその表現論・組合せ論への応用研究

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Minor Summation Formulaの応用としていろいろなことが考えられるが、今回は特にSchur Polynomialに関するLittlewoodの公式の拡張を中心に研究した。Schur Polynomialについて成り立つ等式は B,C,D 型の古典リー代数の有限次元既約指標についても、同じ手法で同様の等式を作ることが多くの場合可能であることがわかった。これらの公式は、特別な形のYoung diagramについての指標の和公式であるが、それが綺麗な積の形のなることもあれば、また別の形の和になることもある。これによって A,B,C,D 型の指標の間のある関係式を与えることがある。本来のLittlewoodの公式はFrobenius notationで(a+l|a)の形のYoung diagram全体についての和であるが、これが(a+r|a)(r=-1,0,1,2,...)という任意の形のYoung diagram全体についての和が求められることがわかり、その答えは B,C,D 型の指標で表される。また、さらにこれにチェビシェフ多項式がはいるような和も求められる。さらに一般的な公式についても次数が低いとき求められている。これらはこれまで知られていたLittlewoodの公式の拡張であったり、またそのタイプの新しい式であったりする。これらの式の多くは、パフィアンの和公式よりも、それの系として出てくるより簡単なCauchy-Bennetの公式で証明されることが最近わかった。したがって古典的なLittlewoodの公式もCauchy-Binnetの公式によって簡単に証明される。もちろん、Cauchy-Bennetの公式から証明されずPfaffianの和公式を使わなければならないものも幾つかあるが、まだそれほど多くない。したがって本質的にPfaffianの和公式を使わなければならない応用を見つけるという問題がある。このようにこの研究は、この1年間で大いに進み、大変有意義であった。