パフィアンの和公式の古典群の指標への応用研究

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この研究はもともと平面分割の数え上げ問題から始まったが、パフィアンの和公式が、シューア多項式のリトルウッドの公式といわれる重要な公式の証明に使えることがわかった。さらに和公式の大事な点は、これまでのリトルウッドの公式の証明よりも、易しいことと、この手法を使ってさらに拡張されたリトルウッドの公式が得られることである。この公式はさらに特殊化するとヤコビの公式の証明が得られる。このことは、この公式が正数論への応用の可能性をはらんでいることを意味する。また、パフィアンの和公式はラティス上のパスの母関数を求める手法で純粋に組合せ論的に証明することができることがわかった。この証明方法は、さらに一般化した行と列の両方についての和公式を与えることがわかった。また、シューア多項式についてのリトルウッド型の公式を証明するときは、与えられた行列のすべてのサブパフィアンを評価するという難しい問題にぶつかるが、これもマヤ図形を使った純粋に組合せ論的な方法で、このサブパフィアンが評価できることがわかった。マヤ図形、パフィアン、シューア多項式などの手法は、ソリトン方程式と非常に酷似したものを感じさせる。一度すべてのサブパフィアンを評価すると、それによって、A型にあたるシューア多項式の公式と同時に、B、C、D型の指標に関する公式も得られることがわかった。これらの公式は、指標のリトルウッド型の和を、別の一つの指標で表す。このようにして、我々は、これらの古典群の指標についていくつもの拡張された公式を得た。今期に発表した論文以外にも、現在、まだアクセプトされていない論文が2つある、今回の研究は成果が多く、有益だったといえる。