位相的場の理論を用いた3次元多様体及び結び目の研究

利用拓扑场论研究三维流形和结

• 批准号: 06740074
• 负责人: 横田 佳之
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740074/
• 关键词: 三次元多様体(3-manifold); 結び目(knot); グラフ(graph); 量子不変量(quantum invariant); 橋指数(bridge number); 隧道数(tunnel number)

当該年度の研究成果は以下のとおりである。まず最初に、Temperley-Lieb代数の表現論を用いることによって、Moore-Seiberg等が与えた2+1次元の位相的場の理論を、初等的かつ発見的に展開することに成功した。すなわち、点付きRiemann面に対応する有限次元Hilbert空間とその正規直交基底を、Temperley-Lieb代数のminimal idempotentsを用いて構成し、Riemann面の写像類群の作用を極めて直観的かつ幾何的に説明した。同時に三次元多様体内の結び目に対する量子SU(2)不変量をこれら写像類群の作用と有限次元Hilbert空間の内積の言葉で記述した。上述の成果より得られる帰結として、以下の二つを挙げることができる。まず一つは、量子SU(2)不変量の絶対値を使って三次元多様体内の結び目の橋指数の評価を行い、Moriah-Rubinsteinによって最近解決された結び目の隧道数の加法性に関する予想の、具体例による別証を与えた。また、Walker、Kohnoによって与えられた三次元多様体のHeegaard種数・結び目の隧道数の評価を、ホモロジー球面に対して精密化することに成功した。もう一つは、三次元空間内に埋め込まれた三分岐グラフに対するYamada不変量を任意のグラフに対して拡張したことで、一般のグラフの埋め込みに特有の、微妙な違いを判定でき、しかも計算可能である点において画期的である。またその応用として、結び目の対称性から得られるグラフの橋指数を不変量の絶対値を使って評価し、もとの結び目が隧道数1を持つかどうかの判定が飛躍的に容易になった。

When the research results of the year are as follows: The theory of expression of Temperley-Lieb algebra is applied successfully to the field theory of 2+1 dimensional phase, elementary theory and so on. The Riemann plane corresponds to a finite dimensional Hilbert space, a regular orthogonal base, a Temperley-Lieb algebra and minimal idemotants. The Riemann plane is composed of a geometric description of the function of the image group. At the same time, the role of the quantum SU(2) invariant in the structure and object of a three-dimensional multiple-body and the inner product of a finite-dimensional Hilbert space are described. The above results are obtained from the following two aspects: A quantum SU(2) invariant absolute value is used to evaluate the bridge index of the node and the object in the three-dimensional multi-dimensional matrix. Moriah-Rubinstein is used to evaluate the additive relationship between the number of tunnels of the node and the object in the most recent solution. The Heegaard number, junction and tunnel number of the three-dimensional multi-object are evaluated successfully, and the spherical surface is refined. In the third dimension space, there are three points of difference. There are four points of difference. The bridge index of the bridge is not changed, so it is easy to evaluate the bridge index of the tunnel, and it is easy to determine the bridge index of the tunnel.

项目成果

K.Morimoto,M.Sakuma,Y.Yokota: "Examples of tunnel number one knots which have the property “1+1=3"" Math.Proc.Cambridge Phil.Soc.(to appear).

K.Morimoto、M.Sakuma、Y.Yokota：“具有属性“1+1=3”的隧道第一结的示例”Math.Proc.Cambridge Phil.Soc.（即将出现）。

Y.Yokota: "Topological invariants of graphs in 3-space" Topology. (to appear).

Y.Yokota：“3 空间中图的拓扑不变量”拓扑。