結び目・三次元多様体と位相的場の理論

物理学者Wittenによって提唱された,三次元多様体の量子不変量のうち,特殊ユニタリー群に対応する不変量に関しては,三次元多様体の絡み目表示を用いた,Turaev-Wenzl,Kohno-Takata,Yokota等による,数学的定式化が知られています.この不変量は,レベルと呼ばれる正の整数とある1の巾根tによってきまり,その値はtの平方根の有理関数として表わされます.ところが計算機実験は,不変量がtの多項式環に値をとることを暗示しており,少なくともホモロジー球面とよばれる三次元多様体族に関しては,不変量はtの多項式環に値をとるであろう,と予想されてきました.二次の特殊ユニタリー群に関しては,まずMurakamiによってこの事実が示されましたが,証明は複雑な計算を必要とするため,それを一般の特殊ユニタリー群の場合にそのまま適用するのは,不可能と思われてきました.ところが最近になってMasubaum-Robertsが,Temperley-Lieb代数の表現論を用いて,Murakamiの結果の簡単な別証明をあたえました.この研究では,Masubaum-Robertsをヒントに上の予想,つまり一般の特殊ユニタリー群に対応する不変量が,tの多項式環に値をとることの証明に成功しました.基本的な流れはMasubaum-Robertsと同様で,与えられた三次元多様体とその鏡像の連結和の不変量を,Hecke環の表現論を用いて解析し,それがtの多項式環に値をとることを示します.あとはいくつかの数論的な議論を経由して,もとの三次元多様体の不変量もtの多項式環に値をとることがわかります.この研究の最初の目標は,三次元多様体の,特殊ユニタリー群に対応する量子不変量の性質を調べることでした.以上がその成果ですが,不変量のもつ,ある重要な代数的性質を導いたことになります.

物理学者Wittenによって提唱された,三次元多様体の量子不変量のうち,特殊ユニタリー群に対応する不変量に関しては,三次元多様体の絡み目表示を用いた,Turaev-Wenzl,Kohno-Takata,Yokota等による,数学的定式化が知られています.この不変量は,レベルと呼ばれる正の整数とある1の巾根tによってきまり,その値はtの平方根の有理関数として表わされます.ところが計算機実験は,不変量がtの多項式環に値をとることを暗示しており,少なくともホモロジー球面とよばれる三次元多様体族に関しては,不変量はtの多項式環に値をとるであろう,と予想されてきました.二次の特殊ユニタリー群に関しては,まずMurakamiによってこの事実が示されましたが,証明は複雑な計算を必要とするため,それを一般の特殊ユニタリー群の場合にそのまま適用するのは,不可能と思われてきました.ところが最近になってMasubaum-Robertsが,Temperley-Lieb代数の表現論を用いて,Murakamiの結果の簡単な別証明をあたえました.この研究では,Masubaum-Robertsをヒントに上の予想,つまり一般の特殊ユニタリー群に対応する不変量が,tの多項式環に値をとることの証明に成功しました.基本的な流れはMasubaum-Robertsと同様で,与えられた三次元多様体とその鏡像の連結和の不変量を,Hecke環の表現論を用いて解析し,それがtの多項式環に値をとることを示します.あとはいくつかの数論的な議論を経由して,もとの三次元多様体の不変量もtの多項式環に値をとることがわかります.この研究の最初の目標は,三次元多様体の,特殊ユニタリー群に対応する量子不変量の性質を調べることでした.以上がその成果ですが,不変量のもつ,ある重要な代数的性質を導いたことになります.