熱対流方程式の解の定性的性質の数学的研究

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2枚の水平平行平板間に流体をいれ、下から一様に加熱していくと静止状態が不安定化を起こして対流が発生し、さまざまな対流パターンが見られる。この対流はブシネスク方程式で記述され、現象に対応するさまざまな定常解が得られている。これらの定常解の中でもロール型対流解については、ブシネスク方程式から形式的に導かれた簡単なモデル方程式を用いて、その安定性の解析が行われてきた。しかしながら、ブシネスク方程式を用いてのロール型対流解の安定性の数学的に厳密な解析は行われていない。本研究では、ロール型対流解の安定性をブシネスク方程式を用いて明らかにし、また、モデル方程式としてよく知られたギンツブルグ-ランダウ方程式やスウィフト-ホ-ヘンバーグ方程式の数学的に厳密な導出を行うことを目標とした。本年度の研究では、ブシネスク方程式のロール型対流解の2次元攪乱に対する安定性を考え、ロール型対流解のまわりでの線形化作用素のスペクトルを調べ、物理学者によって得られたロール型対流解の2次元安定性に関する結果(エックハウス不安定性)を数学的に厳密に証明した。今後は3次元攪乱に対する安定性を考え、ロール型対流解のジグザグ不安定性やクロスロール不安定性などの証明を行いたい。また、3次元攪乱に対する安定性が明らかになれば、ロール型対流解のまわりの攪乱の挙動を記述するモデル方程式であるギンツブルグ-ランダウ方程式とスウィフト-ホ-ヘンバーグ方程式のブシネスク方程式からの導出を証明したい。