熱対流を記述する非線型偏微分方程式の解の定性的性質の研究

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2枚の水平平行板間に流体をいれ、下から一様に加熱していくと静止状態が不安定化を起こして対流が発生し、さまざまな対流パターンが見られる。この対流はブシネスク方程式で記述され、現象に対応するさまざまな定常解が得られている。これらの定常解の中でもロール型対流解については、ブシネスク方程式から形式的に導かれた簡単なモデル方程式を用いて、その安定性の解析が行われてきた。しかしながら、ブシネスク方程式を用いてのロール型対流解の安定性の数学的に厳密な解析はあまり行われていない。本研究では、ロール型対流解の安定性をブシネスク方程式を用いて明らかにし、また、モデル方程式としてよく知られたギンツブルグ-ランダウ方程式やスウィフト-ホ-ヘンバーグ方程式の数学的に厳密な導出を行うことを目標とした。本年度の研究では、ブシネスク方程式のロール型対流解のまわりでの線形化作用素のスペクトルを調べ、ロール型対流解の2次元攪乱に対する線形化安定性および不安定性に関するエックハウスの判定条件の証明をWolf von Wahlと共同で与えた。この結果はInternational Journal of Non-Linear Mechanicsに発表予定である。今後は3次元攪乱に対する安定性、不安定性の判定条件を与え、ギンツブルグ-ランダウ方程式やスウィフト-ホ-ヘンバーグ方程式の数学的に厳密な導出を行いたい。また、ロール型対流解が不安定な場合、ロール型対流解の近傍に初期値をとる初期値問題の解がどのような振る舞いをするのかについて力学系の手法を用いて考察してみたい。