高次元ソリトン方程式の離散化

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本研究では研究者が最近得た三次形式によってかかれる2+2次元の高次元ソリトン方程式に関する結果をもとに、それを重力場の方程式や自己双対方程式などの既存の高次元方程式の離散化の研究を行った。まず離散化する前の段階の連続系の解の構造を数式処理言語等で詳細に調べた。その結果2方向ロンスキアン的な構造を持った行列式によって、解が表わされることが確認できた。そして方程式はこれらの行列式の表現を用いることによって、ソリトン方程式系にみられるPluckerの関係式に帰着されることが確認できた。これは研究者が得た三次形式によって表わされる方程式の解の構造と類似のものである。さらにこれの離散化を試みたが数式処理言語等による方程式形の探査の過程でいわゆるソリトン的な解をすなおに拡張したときには、通常のものと比べて拘束条件がきつくなり、単純な離散化を許さないということが判明した。またそれはこの系のPluckerの関係式を生成する際におこなわれる展開と離散化の際に用いられるCasorati行列のテクニックがうまく両立しないということに起因することもわかった。従ってこの系においては既存のソリトン系の方法によるすなおな離散化には本質的困難がともなうことが明らかになった。現在この困難を克服するための新たなテクニックに関する研究を計画中であり、本研究は今後そちらにひきつがれる予定である。