局所環上の交叉理論

複体のK群のλ構造を代数的に調べた結果、長さ高々2の複体の対称巾は、標数0ではシェア-複体になるもので、複体レベルでのλ構造を実現していることが分かった。正標数のフロベニウスを不等標数に持ちあげた写像から得られる複体の上の操作を不分岐の時に調べたが、台が正標数の部分に入っていないものには使えず、不等標数で応用できる結果に至らなかった。一方、加群の上の普遍的自由関手(universally free functor)を表現論的な面から捉え、既存の自由分解の具体例をホップ加群の一般論の枠組みで論じた。ホモロジカル基本操作を調べるとともに、Cohen-Macaulay近似と、代数群の良いフィルターづけを持つ加群の理論とを同時に扱うことに、制限付であるが成功した。詳しくは、簡約群の作用を持つ次数付環が表現としてS.Donkinの意味で良いフィルターづけを持つ時、作用から得られる有限生成ホップ加群のなかに、極大Cohen-Macaulay加群(可換環論的な概念である)とワイル加群フィルターづけを持つ加群(代数群の表現の概念である)の性質を合わせ持ったクラスを定義し、そのクラスがinjective cogeneratorを持つことを若干の仮定の下に証明した。この仮定を除くには、良いフィルターづけを持つ加群の対称巾が良いフィルターづけを持つことが分かれば良い。GilletとSouleが用いた複体を使って、この問題はtilting modulesの対称巾の問題に帰着されることもで分かったが、知られている例も少なく、今後の課題である。

複体のK群のλ構造を代数的に調べた結果、長さ高々2の複体の対称巾は、標数0ではシェア-複体になるもので、複体レベルでのλ構造を実現していることが分かった。正標数のフロベニウスを不等標数に持ちあげた写像から得られる複体の上の操作を不分岐の時に調べたが、台が正標数の部分に入っていないものには使えず、不等標数で応用できる結果に至らなかった。一方、加群の上の普遍的自由関手(universally free functor)を表現論的な面から捉え、既存の自由分解の具体例をホップ加群の一般論の枠組みで論じた。ホモロジカル基本操作を調べるとともに、Cohen-Macaulay近似と、代数群の良いフィルターづけを持つ加群の理論とを同時に扱うことに、制限付であるが成功した。詳しくは、簡約群の作用を持つ次数付環が表現としてS.Donkinの意味で良いフィルターづけを持つ時、作用から得られる有限生成ホップ加群のなかに、極大Cohen-Macaulay加群(可換環論的な概念である)とワイル加群フィルターづけを持つ加群(代数群の表現の概念である)の性質を合わせ持ったクラスを定義し、そのクラスがinjective cogeneratorを持つことを若干の仮定の下に証明した。この仮定を除くには、良いフィルターづけを持つ加群の対称巾が良いフィルターづけを持つことが分かれば良い。GilletとSouleが用いた複体を使って、この問題はtilting modulesの対称巾の問題に帰着されることもで分かったが、知られている例も少なく、今後の課題である。